再議Uniform FFT modulated filterbank

前面寫過一篇文章，但是感覺對於FFT 的filterbak還是沒有說清楚，這邊就再次把自己的一些理解說一下

1、這裏麪包含的幾個概念

uniform，說明就是基礎濾波器就一個，其他濾波器是它的一個變體，也就是調製（modulated）出來的，

polyphase分解，多相分解，主要目的是同一個多相組裏面對應的“延遲“”是一樣的，等會我後面會詳細揭祕

2、FFT幹嘛？只爲了在analysis和 synthesis架設一個橋樑，實際上是analysis 就是簡單濾波，通過濾波器

這每個channel出去的不是你理解的變成頻域上的 X(0) X(1),...X(fft_len-1),它是每個子帶的時域表達（直接濾波的結果），那爲什麼要求IDFT，是因爲多相分解和調製的聯合作用，“顯得“而且“剛好” 可用一個IDFT來表達

3、fir濾波器的線性相位，一般設計的fir都是線性相位的，線性相位的 h(n),它的頭尾是對稱的，用科學的話就是偶對稱或者奇對稱，那爲什麼線性相位和對稱有關係？具體可以看這個論文：

https://www.cnblogs.com/fall-li/p/4418646.html

4、我們舉一個例子：

設計一個濾波器組，32個子帶，它的原型濾波器截止到1/32 (對0~2*pi來說）

注意這個是全頻帶的，所謂的分32個子帶是包括 fs/2~fs 的那一段的

濾波器調製公式

Hk = H0(z*exp(-j*2*pi*k/N)) k是第幾個子帶，從0開始，N是你一共有幾個子帶，（注意N不是說你濾波器tap數目）

或者說這麼寫 hk(i) = sigma i [exp(2*pi/M*k*i)*f(i)] , i=0~N-1 (因爲H0（z）都是Z^-1的組合，z*exp(-j*2*pi*k/N代入後負數符號被幹掉了，這裏面的N又是濾波器長度

那麼8個子帶有了：它的順序如下圖：

實際上，Hk = H0(z*exp(j*2*pi*k/N)) 也是可以的，注意exp中沒有負號了，它的子帶濾波器的頻帶分配如下：

所以說上面那個圖裏面的分析部分的FFT和合成部分IFFT都是沒有問題的，意思是你先分析用IDFT，合成用DFT或者先分析用DFT，後面再合成用IDFT都是可以的

原因上面說了

Hk = H0(z*exp(-j*2*pi*k/N)) 這是一種調製，對應IDFT

Hk = H0(z*exp(j*2*pi*k/N)) 這也是一種調製對應DFT

但是你要記住的是filterbank 的index是不一樣的。他們對應的頻帶部分是不一樣的。具體看上面的頻帶分配圖

所以也不用奇怪糾結各種文獻中的這個DFT和IDFT的先後次序問題了

5、另外說一個 FFT的 matrix變換方法：下面兩個在matlab中是驗證沒有問題的，那麼fft也就是可以用矩陣的方法來求，X是列向量

fft(x) = dftmtx(n)*x;
ifft(x) = conj(dftmtx(n))/n * x

6、舉一個實際的例子：

input FIFO

filter已經分成 8組（或者8channel）多相濾波，每組 taps數目是3個，【不要認爲這就是每個channel的濾波器係數，根本就不是，它只是假象而已】

他們對應相乘，每個ei都是多相part，另外如果所有的e求和，實際就是 x(n) 卷積 f(n),明眼人看出來就是濾波

% e7 = [ x16*f7 + x8*f15 + x0*f23
% e6=    x17*f6 + x9*f14 + x1*f22
% e5=    x18*f5 + x10*f13 + x2*f21
% e4=    x19*f4 + x11*f12 + x3*f20
% e3=    x20*f3 + x12*f11 + x4*f19
% e2 =   x21*f2 + x13*f10 + x5*f18
% e1 =   x22*f1 + x14*f9 + x6*f17
% e0 =   x23*f0 + x15*f8 + x7*f16 ]

容易求得 IDFT的變換矩陣是：

先算DFT的D（D是變換矩陣）

n = 8;
f = 2*pi/8;                 % Angular increment.
w = (0:f:2*pi-f/2).' * 1i; % Column.
x = 0:n-1;                  % Row.
D = exp(-w*x);              % Exponentiation of outer product.

IDFT的爲 conj(dftmtx(n))/n = conj(D)/n

如果用 matrix 矩陣和多相矩陣相乘：也即（方陣）*（列陣列）

結果中間的每一行是：（每個濾波器或者每個通道的輸出）

h0_part =sigma (1/8)*exp(2*pi/8*0*[0 1 2 3 4 5 6 7]).*[e7 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0];
h1_part =sigma (1/8)*exp(2*pi/8*1*[0 1 2 3 4 5 6 7]).*[e7 e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0];

後面以此類推。。。

用h0_part不好說，因爲都是0，在k=1的情況下，

h1_part = (1/8)* exp(2*pi/8*1*0) * (x23*f0 + x15*f8 + x7*f16)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*1) * (x22*f1 + x14*f9 + x6*f17)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*2) * (x21*f2 + x13*f10 + x5*f18)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*3) * (x20*f3 + x12*f11 + x4*f19)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*4) * (x19*f4 + x11*f12 + x3*f20)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*5) * (x18*f5 + x10*f13 + x2*f21)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*6) * (x17*f6 + x9*f14 + x1*f22)
   +(1/8)* exp(2*pi/8*1*7) * (x16*f7 + x8*f15 + x0*f23)

= (1/8)[ exp(2*pi/8*1*0) * (x23*f0) + exp(2*pi/8*1*(0+8)) * (x15*f8) +   exp(2*pi/8*1*(0+16))* x7*f16)
           exp(2*pi/8*1*1) * (x22*f1) + exp(2*pi/8*1*(1+8)) * (x14*f9) +   exp(2*pi/8*1*(1+16))* x6*f17)
           exp(2*pi/8*1*2) * (x21*f2) + exp(2*pi/8*1*(2+8)) * (x13*f10) + exp(2*pi/8*1*(2+16)*x5*f18)
+..

再把調製係數直接乘到濾波器係數上去（乘法結合律）.

= (1/8)[ (x23)*exp(2*pi/8*1*0) *(f0) + (x15)*exp(2*pi/8*1*(0+8)) *( f8) + (x7)*exp(2*pi/8*1*(0+16))*(f16)
(x22)*exp(2*pi/8*1*1) * (f1) + (x14)*exp(2*pi/8*1*(1+8)) *(f9) + (x6)*exp(2*pi/8*1*(1+16))*(f17)
(x21)*exp(2*pi/8*1*2) * f2) + (x13)*exp(2*pi/8*1*(2+8)) *(f10) + (x5)*exp(2*pi/8*1*(2+16)*(f18)
+..

是不是和一個調製濾波器相卷積？