奇異局勢：是指任何一個人面對這種局勢，最後都會失敗。
非奇異局勢：是指任何一個人面對這種局勢，最後都會成功。
爲了方便理解，我用必敗態和必勝態來代替：
1.對必勝態的正確操作，會使對手面對失敗態；
2.對必敗態的任意操作，都會使對手面對必勝態；
3.不同的必勝態存在一些相同之處(同樣的，不同的失敗態也存在一些共性)。
4.如果有甲乙兩人，如果甲一開始面對的是必勝態，那麼甲在這個過程一直面對的都是必勝態，
下面介紹幾個常見的博弈問題：
一、巴什博弈
巴什博弈的題目一般是有一堆物品共n個，兩個人輪流取物品，每次只能取1~m個。最後取光者勝利。
解題方法：
res=n%(m+1);
若res=0,則先取者必敗，反之，後取者必敗。
當n=m+1時，由於一次最多隻能取m個，所以無論先取者拿走多少個，後取者都能夠一次拿走剩餘的物品，後者取勝，所以當一方面對的局勢是n%(m+1)=0時，其面臨的是必敗的局勢。
二、威佐夫博弈
有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從任一堆取至少一個或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。
解題方法：
若兩堆物品的初始值爲（x，y），且x<y，則另z=y-x；
記w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）*z ]；
若w=x，則先手必敗，否則先手必勝。
（推到過程有點麻煩，只能記住這個模型！）
三、 尼姆博弈 （重點）
尼姆博弈指的是這樣一個博弈遊戲：有任意堆物品，每堆物品的個數是任意的，雙方輪流從中取物品，每一次只能從一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最後一件物品的人獲勝。
解題方法：
把每堆物品數全部異或起來，如果得到的值爲0，那麼先手必敗，否則先手必勝
四、Fibonacci博弈
有一堆石子,兩個人輪流從其中取走一定的石子,取走最後所有石子的人爲贏家,不過得遵循如下規則:
1.第一次取不能取完,至少取1顆.
2.從第二次開始,每個人取的石子數至少爲1,至多爲對手剛取的石子數的兩倍。
解題方法：
若石子數是斐波那契數，則先手必敗
注：斐波那契
f[0] = f[1] = 1;
for(int i=2;i<N;i++)
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
五、SG值（難點）
參考https://blog.csdn.net/baidu_36394995/article/details/76206979
必須滿足的要求
1、定義：
（1）兩人蔘與。
（2）遊戲局面的狀態集合是有限。
（3）對於同一個局面，兩個遊戲者的可操作集合完全相同
（4）遊戲者輪流進行遊戲。
（5）當無法進行操作時遊戲結束，此時不能進行操作的一方算輸。
（6）無論遊戲如何進行，總可以在有限步數之內結束。
2、模型：給定一個有向無環圖和一個起始頂點上的一枚棋子，兩名選手交替的將這枚棋子沿有向邊進行移動，無法移動者判負。事實上，這個遊戲可以認爲是所有公平組合遊戲（Impartial Combinatori Games）的抽象模型。其實，任何一個ICG都可以通過把每個局勢看成一個頂點，對每個局勢和它的子局勢連一條有向邊來抽象成這個“有向圖遊戲”。
3、解決思路：
現在，假定我們給出兩個遊戲G1 和 G2。如果我們只知道單個遊戲的P-狀態和N-狀態我們能夠正確地玩好遊戲和G1 + G2嗎？答案是否定的。不難看出兩個P-狀態的和總是P-狀態，P-狀態和N-狀態的和總是N-狀態。但是兩個N-狀態的和既可能是P-狀態也可能是N-狀態。因此，只知道單個遊戲的P-狀態和N-狀態是不夠的。
爲了正確地玩好遊戲和我們需要推廣P-狀態和N-狀態，它就是Sprague-Grudy函數（或者簡稱爲g函數）
4、Sprague-Grudy定理：
令N = {0, 1, 2, 3, …} 爲自然數的集合。Sprague-Grundy 函數給遊戲中的每個狀態分配了一個自然數。結點v的Grundy值等於沒有在v的後繼的Grundy值中出現的最小自然數.
形式上：給定一個有限子集 S ⊂ N,令mex S(最小排斥值)爲沒有出現在S中的最小自然數。定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於一個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。
對於一個給定的有向無環圖，定義關於圖的每個頂點的Sprague-Garundy函數g如下：g(x)=mex{ g(y) | y是x的後繼 }。
5、性質：
（1）所有的終結點所對應的頂點，其SG值爲0，因爲它的後繼集合是空集——所有終結點是必敗點（P點）。
（2）對於一個g(x)=0的頂點x，它的所有後繼y都滿足g(y)!=0——無論如何操作，從必敗點（P點）都只能進入必勝點（N點）//對手走完又只能把N留給我們。
（3）對於一個g(x)!=0的頂點，必定存在一個後繼點y滿足g(y)=0——從任何必勝點（N點）操作，至少有一種方法可以進入必敗點（P點）//就是那種我們要走的方法。
6、應用：
（1）可選步數爲1-m的連續整數，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
（2）可選步數爲任意步，SG(x) = x;
（3）可選步數爲一系列不連續的數，用mex(計算每個節點的值)
圖片參考https://blog.csdn.net/qq_36553623/article/details/67061459