SICP習題1.45 爲什麼做average damp的次數需要大於等於log2n

原創

2018-11-14 04:44

簡單粗暴的標題，這個推導是我看了知乎的兩篇文章之後，結合自己的理解寫的，多畫了幾個圖像，力求通俗易懂

知乎的參考文章如下

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25601871

https://www.zhihu.com/question/28838814/answer/42283723

最初我們需要求解的fixed-point函數如下

$y=\frac{x}{y^{n-1}}$

經過m次average damp後，fixed-point函數變爲

$y=\frac{1}{2^m}(\frac{x}{y{n-1}}+(2^m-1)y)$

每次fixed-point迭代計算，第k次迭代可以寫成如下形式，直到 $y_{k+1}\approx y_k$ 迭代結束

$y_{k+1}=\frac{1}{2^m}(\frac{x}{y_k{n-1}}+(2^m-1)y_k)$

以 $y_{k+1}$ 作爲自變量，變換一下上面的公式，可以得到函數，這條直線的斜率爲 $2^my_k^{n-1}$

$g(y_{k+1})=2^my_k^{n-1}y-x-(2^m-1)y_k^n$

每次迭代求 $y_{k+1}$ 就等同於求函數 $g(y_{k+1})$ 的零點

設函數，該函數零點就是我們所要求的平方根，去掉 $g(y_{k+1})$ 的下標k+1，得到

爲了更好地理解，以一個例子代入，求解 $\sqrt[2]{16}$ ，初始值爲1

1、不做average damp

兩個函數是這樣

$\left\{ \begin{aligned} f(y)&=y^2-16\\ g(y)&=y_ky-16 \end{aligned} \right.$

第一次迭代，，得出

第二次迭代，，得出

第三次迭代，，得出

陷入了死循環，非常夭壽

2、做一次average damp

兩個函數是這樣

$\left\{ \begin{aligned} f(y)&=y^2-16\\ g(y)&=2y_ky-16-y_k^2 \end{aligned} \right.$

第一次迭代，，得出

第二次迭代，，得出

第三次迭代，，得出

每次迭代的直線如下，可以看到直線的零點和曲線的零點越來越接近

對比一下上面的兩個圖的區別，不做average damp的時候，直線是在曲線零點的兩邊晃來晃去導致震盪不收斂，做了average damp後，直線一直在曲線的一側，慢慢貼近

如何保證直線不在曲線零點兩邊晃來晃去呢

看一下知乎大神給出的這個圖，藍色曲線表示，其他直線表示，紅點表示這個點，曲線和直線是必然通過這個點的，代入函數驗證一下就可以知道

現在看綠線，綠線的零點就是下一次的 $y_{k+1}$ ，和這次的分佈在了曲線零點的兩端，這兩個y值我用綠點標出來了，由上述分析可以知道，每次迭代y都分佈在曲線零點兩端就會引起震盪，所以綠線這種情況是不能收斂的，紅線和黃線的零點一直分佈在曲線零點的一側，可以收斂

很直觀可以看出來，只要每次在曲線直線交點處，直線的斜率大於等於曲線斜率即可，上面已經說了交點就是

曲線斜率爲 $ny^{n-1}$ ，在交點處，斜率爲 $ny_k^{n-1}$

直線斜率爲 $2^my_k^{n-1}$

因此滿足 $2^m\geqslant n$ ，即 $m\geqslant log_2{n}$

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