圖像退化是由一個退化函數H(u,v)+一個噪聲產生N(u,v)的g(x,y)。圖像復原的目的是獲得關於原始圖像的近似估計。通常我們希望我們估計的圖像能極可能的接近原始圖像，並且H和N的信息知道的越多，則得到的圖像就越接近原始圖像。
空間域的退化圖像和頻域率的退化圖像：
圖像退化或者復原的模型
輸入一幅圖像f(x,y)，經過退化函數H以及噪聲變成g(x,y)，然後復原變成f帽(x,y)。
這裏面有兩個需要處理的數據，一個是退化函數，一個是噪聲，下面將講解一下一幅圖像只含有噪聲是怎樣退化復原，只含有退化函數是怎樣退化復原，兩個都有是怎樣退化復原。
噪聲模型
噪聲類別很多，我們可以用一種特定額方法產生紅一種我們想要的噪聲，求出隨即發生數方程。設w是（0,1）區間的均勻分佈隨機變量,我們可以得到一個特定分佈的隨機變量z的ＣＤＦ，通過下面的方程的到
通過反變化，得到隨機發生數方程
下面將給出常用的特定分佈產生的隨機噪聲：
分別是：均勻分佈，高斯分佈，椒鹽噪聲，對數正態分佈噪聲，瑞利噪聲，指數分佈噪聲，伽馬噪聲。下面是對應的概率密度函數：
週期噪聲
所謂週期噪聲就是噪聲是程週期產生
看着就是有規律的就是週期噪聲。
諧波均值濾波器（調和函數）
調和函數
諧波均值濾波器對於“鹽”噪聲效果更好，但不適用於胡椒噪聲。
逆諧波均值濾波器（反調和函數）
其中Ｑ爲濾波器的階數，這種濾波器適合消除椒鹽噪聲的影響。當Ｑ爲正數時，用於消除胡椒噪聲，當爲負數時用於消除鹽噪聲。但是不能同時消除兩種 ，要同時消除兩種用之前所講的中值濾波，中值濾波可以進行多次得到最好的結果，但是也可以使用一次就能達到理想的效果，我們可以將窗口加大。具體證明在文後講解。
頻率濾波消除週期噪聲
１.帶阻濾波器
理想帶阻濾波器
巴特沃斯帶阻濾波器：
高斯帶阻濾波器：
我對帶阻濾波器的理解是既然噪聲是週期的，所以我就把有噪聲出現的那一個區域都挖掉，這樣剩下的那些肯定是沒有噪聲的。
從左到右分別是理想，巴特沃斯，高斯帶阻濾波器的透視圖，是不是挖了一個一個的圈圈？
帶通濾波器
１.陷波濾波器
這裏也分爲了理想，巴特沃斯，高斯。
這裏也是挖坑，只不過挖的不是一圈一圈的，是一塊一塊的，相當於一個土豆發了芽子，如果用第一種方法挖圈肯定浪費了，我們就選擇挖洞洞，哪裏發芽，就把哪裏的芽挖了，這很節約。
２.最佳陷波濾波器
這裏就是開始挖壕溝了！
這裏的公式證明有點麻煩。
估計退化函數
這個模塊主要是求Ｈ（ｕ，ｖ），我們前面 說了很多的噪聲，現在討論一下退化函數吧。
主要方法
１.圖像觀察估計法
２.試驗估計法
３.模型估計法
這裏重點講解模型估計法，這個模型有一個通用的公式：
模型化是從基本原理開始推到的一個數學模型。我們在拍照的過程中受到物體運動的影響導致圖像出現模糊。首先我們瞭解一下相機成像的原理。假設有一個大型體育場，當下雨時體育場會自動將頂棚關閉，在這個關閉的過程中肯定會有雨點落在地面上，如果頂棚關的快，則雨落在地面上的數目就小，關的慢就多。因此我們將頂棚關閉的時間快門的時間，雨滴落在地面上的數目就是曝光多少，曝光多了看不清，曝光少了也不行。將地面上的水全計算完就是積分。
ｇ（ｘ，ｙ）爲模糊的圖像，這裏假設快門開啓和關閉的時間很短，光學成像過程不會受到運動的干擾。
由上式得到它的傅里葉變換：
逆濾波
維納濾波在統計上有意義，但是實際並不有用，不說明。
重點，約束最小二乘方濾波器
這個濾波器只要求知道噪聲的均值和方差就可以。
設ｇ(x,y）的尺寸爲MN。可以用g(x,y)第一行的圖像元素構成向量g 的第一組N個元素，下一組N個元素用第二行構成，一次類推，H矩陣有MN MN維。
找一個最小的準則函數C
我們就可以得到近似的原圖像以及p(x,y)的傅里葉變換（拉普拉斯算子）：
下面我們開始計算
他是
的單調遞增函數，這裏要做的就是調整它以便
練習題 ：
1，對於公式：
給出的逆諧波濾波回答下列問題：
（a）解釋爲什麼當Q是正值時濾波對去除“胡椒”噪聲有效？
（b）解釋爲什麼當Q是負值時濾波對去除“鹽”噪聲有效？
分析：
分母爲一個常數，這個公式是求他的加權平均值。
（a）當Q爲一個正數是，在（x,y）鄰域內，胡椒噪聲（PDF很小）的權重爲0，因此對加權平均的影響很小。所以濾波後的噪聲點的值與周圍的值很接近，消除了胡椒噪聲。
（b）當Q爲一個負數是，在（x,y）鄰域內，鹽噪聲（PDF很大）的權重爲就是很小了，因此對加權平均的影響很小。所以濾波後的噪聲點的值與周圍的值很接近，消除了鹽噪聲。
2.複習理解課本中最佳陷波濾波器進行圖像恢復的過程，請推導出w(x,y)最優解的計算過程，即從公式
已知：
3.1、考慮在x方向均勻加速導致的圖像模糊問題。如果圖像在t = 0靜止，並用均勻加速x0(t) = at2/2加速，對於時間T, 找出模糊函數H(u, v), 可以假設快門開關時間忽略不計。
4。已知一個退化系統的退化函數H(u,v), 以及噪聲的均值與方差，請描述如何利用約 束最小二乘方算法計算出原圖像的估計。
