最长公共子序列（动态规划）

目录

 

1 子序列概念

2  问题描述

2.1 问题分析：

2.2 动态规划求解公式

2.3 算法展示

2.4 求解最长序列输出

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1 子序列概念

一个给定序列的子序列是在序列中删除若干个元素后得到的序列。在这里，首先说明子序列的概念（切记子序列非子集的概念），例如是序列的一个子序列，则序列在序列中相对应的下标为，序列和的下标都是从1开始。

2  问题描述

如果给定两个序列和序列，当另外一个序列即是的子序列又是的子序列，那么称序列是序列和序列的公共子序列。

假如,这两个序列，则序列是和的一个公共子序列，但他不是一个最长的公共子序列。而序列才是一个最长的公共子序列，他的长度为4，应为序列和没有长度大于四的公共子序列。

了解了最长公共子序列，那么最长公共子序列问题就是在给定的两个序列和中，找出他们最长的公共子序列这样一个问题。

2.1 问题分析：

设序列和序列的最长公共子序列是。

（1）如果,则,并且是和的最长公共子序列。

（2）如果并且,那么是和的一个最长公共子序列。

（3）如果并且,那么是和的一个最长公共子序列。

在这里，其中;;.

2.2 动态规划求解公式

根据以上问题分析，我们要找出序列和的最长公共子序列，可以按照以下递归进行求解：当时，（即两个序列最后一个字符相同），那我们的变为求解和得最长公共子序列在加上即可，就可以得到和的一个最长公共子序列。当时，必须求解两个问题，即找出和，和两者当中较长的一个公共子序列 ，即得到最终结果，所以我们建立了以上的递归公式求解。我们用记录序列和的最长公共序列的长度，其中当i=0或者j=0时表示此时最长公共序列为。记录的值是由哪一个子问题求解得到的。和的最长公共子序列记录在。

下面我们就可以写出求最长公共子序列的递推公式：

2.3 算法展示

#include "pch.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int LengthString(char *x, char *y, int m, int n, int **c, int **b)
{
	//x和y是两个字符串，m和n分别是其长度，二维数组保存最长公共序列长度，b数组记录在哪个子问题下得到的解
	for (int i = 0;i <= m;i++)
		c[i][0] = 0;
	for (int j = 0;j <= n;j++)
		c[0][j] = 0;
	for (int i = 1;i <= m;i++)
	{
		for (int j = 1;j <= n;j++)
		{
			if (x[i] == y[j])
			{
				c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
				b[i][j] = 1;
			}
			else
				if (c[i][j - 1] > c[i - 1][j])
				{
					c[i][j] = c[i][j - 1];
					b[i][j] = 2;
				}
				else
				{
					c[i][j] = c[i - 1][j];
					b[i][j] = 3;
				}
		}
	}
	return c[m][n];
}
void LCS(int i, int j, char *x, int **b)
{
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 1)
	{
		LCS(i - 1, j - 1, x, b);
		cout << x[i-1] << " ";
	}
	else
		if (b[i][j] == 2)LCS(i - 1, j, x, b);
		else
			LCS(i, j - 1, x, b);
}
int main()
{
	int charNum_1;
	int charNum_2;
	cout << "请输入两个字符串的长度:" << endl;
	cin >> charNum_1 >> charNum_2;
	char *x = new char[charNum_1];
	char *y=new char[charNum_2];
	int **b = new int*[charNum_1];
	int **c = new int*[charNum_1];
	for (int i = 0;i <= 7;i++)//申请空间
	{
		b[i] = new int[charNum_2];
		c[i] = new int[charNum_2];
	}
	for (int i = 0;i <= charNum_1;i++)//初始化
	{
		for (int j = 0;j <= charNum_2;j++)
		{
			b[i][j] = 0;
			c[i][j] = 0;
		}
		cout << endl;
	}
	cout << "请输入字符串 1:";
	for (int i = 0;i <charNum_1;i++)
	{
		cin >> x[i];
	}
	cout << "请输入字符串 2:";
	for (int i = 0;i <charNum_2;i++)
	{
		cin >> y[i];
	}
	int len=LengthString(x, y, charNum_1, charNum_2, c, b);
	
	
	cout << "最长公共子串长度是:" << len << endl;
	cout << "最长公共子串是:";
	LCS(charNum_1, charNum_2, x, b);
	for (int i = 0; i <= charNum_1; i++)    //释放动态申请的二维数组空间
		delete[] c[i];
	delete[] c;
	
}

 由于每个数组单元计算耗费的时间，所以算法LengthString的时间复杂度为

2.4 求解最长序列输出

 由以上我们求出的只是最长公共子序列的长度，最长子序列是什么还没求出。所以我们根据数组继续构造最长子序列，首先从开始，在数组中依次搜索，当时，表示和的最长公共子序列是由和加上得到的，当表示和的最长公共子序列和与的最长公共子序列相同，当时，表示和的最长公共子序列和与的子序列相同，由此我们得到递归求解公共子序列的算法。

void LCS(int i, int j, char *x, int **b)
{
	//i和j分别表示序列x和y的长度
	if (i == 0 || j == 0)
		return;
	if (b[i][j] == 1)
	{
		LCS(i - 1, j - 1, x, b);
		cout << x[i-1] << " ";
	}
	else
		if (b[i][j] == 2)LCS(i - 1, j, x, b);
		else
			LCS(i, j - 1, x, b);
}

在算法中，由于每次递归使得i和j的值每次都减小1，所以算法的时间复杂度为.