脫線MIN問題：
指令Insert(i)：把元素i插入集合s中。
指令Extract_min：從集合S中找出最小元並進行刪除。
兩種指令的簡單表示法：用i表示Insert(i)，用E表示Extract_min。
例：7，2，5，9，E，6，E，E，3，E，1，4，E
這種序列滿足兩個性質：
1） 任一i （1<=i<=n）在序列中最多出現一次（元素之間互不相同）；
2）從左起任意一段中，插入指令條數大於等於E指令條數。（否則無元素可刪。）
算法結果：
給定一個Insert與Extract_min的指令序列之後，對在序列中出現的每個i，算法要輸出i是被第幾條E指令刪除的（對於序列中未出現的i，算法應輸出相應信息。）
上例中有：1(5), 2(1), 3(4), 4(未被刪除)，5(2)，6(3)，7，9與4一樣未被刪除，8未出現。
脫線MIN算法思路：
算法開始之前，先把所有元素的所屬集合名NAME[i]置爲0（O(n)）；再掃描指令序列，把由E隔開的每段中的元素組成若干個集合並命名（O(n)）：
e.g.: 1={2,5,7,9}，2={6}，3=null，4={3}，5={1,4}，6=null
用集合名（數字）來表示刪除i的E指令序號。
算法從i=1開始逐一檢查，找到1所在的元素集合名（5），輸出1是被第5條E指令刪除的;
輸出後用UNION算法把集合5與其後的集合6合併爲6：6={1,4}。
下一步看i=2，找到2所在的元素集合名（1），輸出2是被第1條E指令刪除的;
輸出後用UNION算法把集合1與其後的2合併,得到2={2,5,6,7,9}。
其次看i=3，找到3所在的元素集合名（4），輸出3是被第4條E指令刪除的；
輸出後用UNION算法把集合4與其後的集合6合併（此時集合5已經不存在了），得到6={1,3,4}。
i=4時，找到4所在的元素集合名（6），但6>E指令條數（只有5條），故輸出“4未被刪除”。
i=5時，找到5所在的元素集合名（2），輸出5是被第2條E指令刪除的；
輸出後用UNION算法把集合2與其後的集合3合併，得3={2,5,6,7,9}。
i=6時，找到6所在的元素集合名（3），輸出6是被第3條E指令刪除的；
輸出後用UNION算法把集合3與6合併，得6={1,2,3,4,5,6,7,9}其後的7，9執行Find後均得6，故與4一樣未被刪除，而8未在序列中出現，因Find(8)=0，故應輸出“8未出現”。
爲合併時方便地找到後繼集合，引入Pred和Succ 2個數組：
Pred[j]記錄了前一個集合的名稱（數字），初始時爲j-1，
Succ[j]記錄了後一個集合的名稱（數字），初始時爲j+1。
在Union-Find樹結構的基礎上，解決了脫線MIN問題。考慮了路徑壓縮。
測試數據：7，2，5，9，E，6，E，E，3，E，1，4，E
運行截圖：
輸入：
輸出：
算法：
for i=1 to n do
{
j←Find(i); /*找到i所屬集合名(數字)即刪除i的E指令序號*/
if j=0 then {輸出“i未在序列中出現”}
else if j>k then
{輸出“i未被刪除”}
else /* i確實被刪除了*/
{
輸出“i是被第j條E指令所刪除”；
UNION(j，Succ[j]，Succ[j])；
Succ[Pred[j]]←Succ[j]；/* 集合j不再存在*/
Pred[Succ[j]]←Pred[j]
}
}
算法的主要工作是執行O(n)條Find指令，（其餘工作在循環的每一輪都是常數時間）故該算法的時間複雜度爲O(n*G(n))。
因要對合並後的集合（樹結構）進行強制命名，故採用可強制命名爲k的UNION(i,j,k)算法：
- 數組元素ROOT[i]中存放集合名爲i的根結點編號；
- 數組元素COUNT[t]中存放編號t的結點爲根的子樹中的結點個數；
- 數組元素FATHER [t]中存放編號t的結點的父結點編號；
- 數組元素NAME[t]中存放t結點爲根的樹所對應的集合名。
wlg assume COUNT[ROOT[i]]<=COUNT[ROOT[j]]
(otherwise interchange i and j in the following lines)
LARGE←ROOT[j];
SMALL←ROOT[i];
FATHER[SMALL]←LARGE;
COUNT[LARGE]←COUNT[LARGE]+ COUNT[SMALL];
NAME[LARGE]←k;
ROOT[k]←LARGE
由於該算法不執行Find，故在O(1)時間裏即可完成。
#include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define NUM 10
typedef struct Node//節點
{
int name;//集合名
int value;//value,和index數值相同
int father;//父親節點
int rank;//秩
}TreeNode, *BiTree;
typedef struct Sets//集合
{
int num;//集合的根結點
int pre;//前面的集合名
int suc;//後面的集合名
int used;
}SetNode, *BiSet;
BiTree bt;
BiSet bs;
//創建集合
void creatSet(int assetNum){
if (assetNum>1)
{
bs[assetNum-1].suc=assetNum;
bs[assetNum].pre=assetNum-1;
}
bs[assetNum].used=1;
}
//插入操作
void insert(int i,int assetNum){
if (bs[assetNum].num == 0)
{
bt[i].rank=0;
bt[i].name=assetNum;
bs[assetNum].num=i;
}else{
bt[bs[assetNum].num].rank=1;
};
bt[i].father=bs[assetNum].num;
}
//刪除最小操作
int extract_min(int assetNum){
assetNum++;
creatSet(assetNum);
return assetNum;
}
//初始化，輸入及構造數據結構
int initializeNode()//返回構造了幾個集合樹
{
bs=(BiSet)malloc(NUM*sizeof(SetNode));
bt=(BiTree)malloc(NUM*sizeof(TreeNode));
for (int i=0;i<NUM;i++)
{
bt[i].name=0;
bt[i].value=0;
bt[i].rank=0;
bt[i].father=0;
bs[i].pre=0;
bs[i].suc=0;
bs[i].num=0;
bt[i].value=i;
bs[i].used=0;
}
int r=-2;
int assetNum=1;
creatSet(assetNum);
while(r!=-1){
printf("請輸入一個不重複正數字，作爲insert操作。或者輸入0表示一個extract_min操作,-1表示退出輸入");
scanf("%d",&r);
if (r>0)
{
insert(r,assetNum);
}
else if (r==0)
{
assetNum=extract_min(assetNum);
}
}
//assetNum=extract_min(assetNum);
return assetNum;
}
/************************************************************************
找到某個節點的根節點
輸入參數：
輸出參數：
index：根結點節點編號
************************************************************************/
int find(int value){
BiTree t=&bt[value];
if (t->father!=value)
{
t->father=find(bt[bt[value].father].value);
}
return t->father;
}
//返回節點所在的集合
//即返回節點的根節點的name
int find_setNum(int value){
int t=bt[find(value)].name;
return t;
}
//輸入一個集合名，將這個集合和它的下一個集合合併，並命名爲下一個集合名
void funion(int setNum){
int index1=bs[setNum].num;
int suc=bs[setNum].suc;
int index2=bs[suc].num;
if (bt[index1].rank>bt[index2].rank)//當
{
bt[index2].father=index1;
bs[suc].num=index1;
bt[index1].name=suc;
}
else if (bt[index1].rank ==bt[index2].rank)
{
bt[index1].father=index2;
bt[index2].rank++;
}
else{
bt[index1].father=index2;
}
bs[setNum].used=0;
int pre=bs[setNum].pre;
bs[pre].suc=suc;
bs[suc].pre=pre;
}
//處理。輸出
void deal(int setsCount){
for (int i=1;i<NUM;i++)
{
if (bt[i].father==0)
{
printf("%d沒有出現在序列中\n",i);
}
else{
int setsNum=find_setNum(i);
if (setsNum == setsCount)
{
printf("%d沒有被刪除\n",i);
}
else if (setsNum <setsCount)
{
printf("%d節點被第%d條指令刪除\n",i,setsNum);
funion(setsNum);
}
else
printf("err:根據節點查找到一個錯誤的集合名\n");
}
}
}
void main(){
//初始化、輸入及構造數據結構
int setsCount=initializeNode();
//處理
deal(setsCount);
//打印
for (int i=0;i<NUM;i++)
{
printf("index/value:%d, ",i);
printf("name:%d, ",bt[i].name);
printf("rank:%d, ",bt[i].rank);
printf("father:%d\n ",bt[i].father);
}
printf("asset[name]:index\n");
for (int i=0;i<NUM;i++)
{
printf("set num:%d, ",i);
printf("use:%d, ",bs[i].used);
printf("num:%d, ",bs[i].num);
printf("pre:%d, ",bs[i].pre);
printf("suc:%d\n",bs[i].suc);
}
//等待顯示
printf("\nprint end");
int i;
scanf("%d",&i);
}