科大學長對數學系學弟學妹的忠告

有些科大學生，尤其是新生，抱怨科大教材偏難；而且新生通常缺乏學習方法，對如何在大學中學習還沒有清楚的概念。下面是一位科大數學系學長給科大數學專業學生的一些建議。我轉發過來，僅供參考。

1、老老實實把課本上的題目做完。其實說科大的課本難,我以爲這話不完整。科大的教材,就數學系而言還是講得挺清楚的,難的是後面的習題。事實上做1道難題的收穫是做10道簡單題所不能比的。
2、每門數學必修課至少要看一本參考書,儘量做一本習題集。
3、數學分析別做吉米，除非你太無聊,推薦北大方企勤的習題集。此外注意一下有套波蘭的數學分析習題集，是不是搞得到中文或英文版。
4、線性代數推薦普羅斯庫列科夫的<<線性代數習題集>>和法捷耶夫的<<高等代數習題集>>。莫斯科大學要求把上面的題全做光。建議大家在搞定亞洲第一難書的同時也把裏面的題打通。
5、解析幾何不要不重視。現在有種削弱幾何課的傾向,甚至有的學校把解析幾何課改成只有兩課時,這樣一來,幾何訓練不足,會很吃虧的。
6、常微要看看阿諾爾德的書,打通菲利波夫的習題集。
7、數論課是很重要的,起碼可以鍛鍊思維能力。
8、數學分析、線性代數、解析幾何、泛函、拓撲、抽象代數、實變、微分幾何是最重要的課,大家脫層皮也要學好。要儘量加強這方面的工底,不然的話以後很吃虧。
9、有時間去物理系多聽課,千萬不要畢業了連量子力學也不懂,這樣的數學家註定要被淘汰的。讀讀費曼物理講義和郎道的理論物理教程。
10、華羅庚的<<數論導引>>的前言大家好好看看,多多領會!
11、想讀數理統計和計算數學的要注意,統計和計算數學同樣是數學類的專業,不要以爲加上計算和統計就可以降低要求。
12、推薦一些參考書：
B.A.卓裏奇《數學分析》(第一卷有中文版,第二卷未翻譯,會俄文的一定要看)
S.M.Nikolsky,A course of mathematical analysis(有中文版)
A.I.Kostrikin,Introduction to algebra(有中文版)
M.Postnikov,Analytic geometry(有中文版)
M.Postnikov,Linear algebra and differential geometry(有中文版)
G.H.Hardy,An Introduction to the Theory of Numbers
V.I.Arnold,Ordinary differential equation(有中文版)
H.嘉當,解析函數論初步
Kolmogorov,Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis(有中文版,亞馬遜上出售英文版,20美元一套)
Fomenko,Differential geometry and topology
Kelley,General Topology(有中文版)
Bott,Differential forms in algebraic topology
莫宗堅《代數學》
Atiyah,Introduction to Commutative Algebra(有中文版)
Riesz,Functional Analysis(有中文版)
Landau,Mechanics(有中文版)
Goldstein,Classical Mechanics(有中文版)
Landau,The Classical Theory of Fields(有中文版)
Jackson,Classical Electrodynamics(有中文版)
Landau,Statistical Physics Part1(有中文版)
Kerson Huang,Statistical Mechanics
Landau,Quantum Mechanics(Non-relatisticTheory)(有中文版)
Greiner,Quantum Mechanics:A Introduction(有中文版)
黃昆《固體物理學》
Kittel,Introduction to Solid State Physics(有中文版)
費曼《費曼物理講義》
玻恩《光學原理》
王梓坤《概率論基礎及其應用》
方企勤《數學分析習題集》
普羅斯庫列科夫《線性代數習題集》
法捷耶夫《高等代數習題集》
菲利波夫《常微分方程習題集》
沃爾維科斯基《複變函數習題集》
鄂強《實變函數的例題與習題》
符拉基米諾夫《偏微分方程習題集》
巴茲列夫《幾何與拓撲習題集》
菲金科《微分幾何習題集》

1,迪亞庫的《天遇--混沌與穩定性的起源》，上海科技教育出版社。
這本書的內容是關於自牛頓時代以來，數學家探索一個經典的數學物理難題：三體問題的歷史，很多新生可能以爲數學家就是陳景潤那樣玩些和實際生活不相關問題的怪人，其實真正好的數學是要能夠解決人類科學研究和實際生活中提出的各種數學問題的數學，數學不能離開工程和科學,現代工程技術和自然科學（也包括社會科學）是數學研究活的源泉，這本書裏面的三體問題就是關於計算三個天體的運動軌道的問題，這個問題的研究就是現代動力系統理論的起源，甚至說現代的拓撲學也與此大有關係，龐加勒的經典著作《位置分析》很大程度上是爲他的《天體力學講義》提供數學工具，你們可以在這裏看見很多數學大師的蹤影：龐加勒，柯爾莫哥諾夫，阿諾爾德還有我國的年輕數學家夏志宏。

2, 《數學——它的內容，方法和意義》，科學出版社。
這套書一共三本，是由多位俄羅斯著名數學家集體編寫的，包括了二十世紀最優秀的數學家柯爾莫哥諾夫先生以及亞歷山德羅夫先生、沙法列維奇先生、索伯列夫先生、蓋爾範德先生等數學大師。基本上對大學本科的基礎課程都做了一個簡介，還推薦了一些參考書，這些書大部分國內都可以找到。

3，外爾的《對稱》，上海科技教育出版社。
外爾也是二十世紀最優秀的數學家之一，據說是懂得物理最多的數學家，這本書當然也是值得一讀的了。

4，克萊因《古今數學思想》，科學出版社。
關於數學歷史的名著，不過這本書對以劉徽爲代表的中國古代數學的輝煌成就比較忽視。

（一）從"數學分析"的課本講起吧。

下面開始講一些課本,或者說參考書:
1. 菲赫今哥爾茨的"微積分學教程","數學分析原理"。前一本書,俄文版共三卷,中譯本共8本;後一本書,俄文版共二卷,中譯本共4本。此書堪稱經典。 "微積分學教程"其實連作者都承認不太合適作爲教材,爲此他纔給出了能夠做教材的後一套書,可以說是一個精簡的版本。相信直到今天,很多老師在開課的時候還是會去找"微積分學教程",因爲裏面各種各樣的例題實在太多了，如果想比較紮實的打基礎的話,可以考慮把裏面的例題當做有答案的習題來做,當然不是每道題都可以這麼辦的。毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數學分析內容(指不引入實變,泛函的觀念)的最高水平。

2.Apostol 的"Mathematical Analysis"在西方(西歐和美國),算得上相當完整的課本，裏面講了勒貝格積分，不過講的不好。

3.W.Rudin 的"rinciples of Mathematical Analysis"(中譯本:盧丁"數學分析原理")是一本相當不錯的書,後面我們可以看到, 這位先生寫了一個系列的教材。該書的講法(指一些符號,術語的運用)也是很好的。學完"高等數學"以後,可以找一本西方advanced calculus水平的書來看(特別是Rubin的書),基本上就能夠達到一般數學系的要求了。說到Advaced Calculus,在這個標題下面有一本書也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus。這本書的觀點還是很高的,畢竟是人家Harvard的課本.

4."數學分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等的"數學分析習題集","數學分析習題課教材"。北大的這套課本寫得還是可以的,不過最好的東西還是兩本關於習題的東西。大家知道,吉米多維奇並不是很適合數學系的學生的,畢竟大多是計算題。相比之下北大的這本習題集就要好許多,的的確確值得一做。那本習題課教材也是很有意思的書,包括一些相當困難的習題的解答。

5. 克萊鮑爾的"數學分析"。記得那是一本以習題的形式講分析的書,題目也很不錯。

6.張築生的"數學分析新講"(共三冊)。我個人認爲這是中國人寫的觀點最新的數學分析課本,張老師寫這書也實在是嘔心瀝血,手稿前後寫了差不多五遍。象他這樣身有殘疾的人做這樣一件事情所付出的是比常人要多得多的，以致他自己在後記中也引了"都雲作者癡,誰解其中味"。在這套書裏,對於許多材料的處理都和傳統的方法不太一樣.非常值得一讀。唯一的遺憾是,按照張老師本人的說法,北大出版社找了家根本不懂怎麼印數學書的印刷廠,所以版面不是很好看。

下面的一些書可能是比較"新穎"的.

7a. 尼柯爾斯基"數學分析教程" 是清華的人翻譯的,好象沒翻全。那屬於80年代以後蘇聯的新潮流的代表,不管怎麼說,人家是蘇聯科學院院士。

7b.V.A.zorich" 數學分析",莫斯科大學的教材。SPRINGER出了英文版，相當好的一套教材，特別是習題。

8.狄多涅"現代分析基礎(第一卷)"是一套二十世紀的大家寫的一整套教材的第一卷,用的術語相當"高深",可能等以後學了實變,泛函再回過頭來看感覺會更好一些.

9.說兩句關於非數學專業的高等數學。強烈推薦理圖裏面幾本法國人寫的數學書。因爲在法國高等教育系統裏面,對於最好的學生,中學畢業以後唸的是兩年大學預科,這樣就是不分系的,所以他們的高等數學(如J. Dixmier院士的"高等數學"第一卷)或者叫"普通數學",其水平基本上介於國內數學系和物理系的數學課之間)

10.再補充個技術性的小問題.對於函數項級數收斂, 一致收斂是充分而非必要的,有一個充要條件叫"亞一致收斂性",在"微積分學教程"裏面提了一句,其詳細討論,似乎僅見於魯金(Lusin)的"實變函數論"裏面。

11.華羅庚先生的"高等數學引論"第一卷。這套書(其實沒有完成最初的計劃)是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對科大學生開課時的講義。那時候他們做過個實驗,就是一個教授負責一屆學生的教學,所以華先生這書裏面其實是涉及很多方面的(附帶提一句,另外兩位負責過一屆學生的是關肇直先生和吳文俊先生)。也是出於
一種嘗試吧,華先生這書裏面有一些不屬於傳統教學內容的東西,還包括一些應用。可以一讀。

12. 何琛,史濟懷,徐森林的"數學分析"。這應該是科大的教材,雖然好象影響不是很大,我本人還是很喜歡的,高一的時候第一次學數分就是用的這套書,感覺是條理清晰,配的習題也很好。印刷質量也相當不錯。

13，鄒應的"數學分析"。徐森林老師說這是中國最難的一本數學分析，大致是Dixmie 的大學數學教程的改編版。

（二）"空間解析幾何"的參考書

"空間解析幾何" 實在是一門太經典,或者說古典的課。從教學內容上說,可以認爲它描述的主要是三維歐氏空間裏面的一些基本常識,包括最基本的線性變換(那是線性代數的特例),和二階曲面的不變量理論。

科大用的一直是吳光磊先生和田疇先生的解析幾何簡明教程，很薄，不過主要是講直角座標系的情況，仿射座標系的情況講的不多。

可以考慮的參考書包括:
1.陳(受鳥)的"空間解析幾何學"。內容基本上和課本差不多,不過要厚許多,自然要好念點。陳先生是吳大任先生(大猷先生的堂弟,南開多年的教務長)的夫人,也是中國早期留學海外的女學者.

2.朱鼎勳的"解析幾何學" 基本上只在歐氏空間裏面討論問題，優點是非常易懂, 連二維的不變量理論也在附錄裏面交代得異常清楚。習題也比較合理,不是非常的難(如果我沒有記錯的話)。朱先生相當有才華,可惜英年早逝。

關於數學分析的習題,還有一本書,就是G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數學分析中的問題和定理"。在學習數學分析的階段,可以考慮其第一卷的前面一半,後面就全是復變的東西了。該書的內容還是非常豐富的，在歷史上,這是一套曾經使好幾代數學家都受益匪淺的經典著作。這套書的一個好處就是題目難歸難,後面還是有答案或提示的。

3.Postnikov的"幾何講義：第一學期：解析幾何學"是莫斯科大學新的課本,從課程形式就可以看出,解析幾何這樣一門課如果不是作爲對剛進大學的學生的一個引導,給出一些具體的對象的話,遲早是要給吃到線性代數裏面去的。我個人以爲,現在教委的減輕學生負擔的做法遲早是要遭報應的。中國的中學教育水平也就比美國最糟糕的中學好點,從整體上說,比整個歐洲都要差。我相信所謂三維的"解析"幾何的內容總有一天要下放到高中裏面去。上面的書如果撐不飽你,你又不想學其它的課程的話，可以考慮下面兩本經典，其好處是看過以後可以對很多幾何對象(當然具體說是指三維空間裏面的二次曲面)有相當深刻的瞭解。

4.玻格列諾夫的"解析幾何學"。玻格列諾夫是蘇聯科學院院士，這本書應該說比較精煉，該有的也都有了。

5.穆斯海里什維利的"解析幾何學教程"。特別值得參考的是它裏面關於射影的一些觀點和講法(比如認爲橢圓也是有漸近線的,只不過是"虛"的而已).

關於解析幾何的習題，可以去做巴茲列夫的幾何學與拓撲學習題集，裏面的題目還是有點難度的。

（三） “高等代數”的參考書

高等代數可以認爲處理的是有限維線性空間的理論，如嚴格一點, 關於線性空間的理論應叫線性代數,再加上一點多項式理論(就是可完全算做代數內容的)就叫高等代數了。這門課在西方的對應一般叫Linear Algebra, 就是蘇聯人喜歡用高等這個詞,你可以在外國教材中心裏面找到一本Kurosh(庫落什)的Higher Algebra.

北大的"高等代數"(第二版?)可以說是四平八穩,基本上該講的都講了，但是你要說它有什麼地方講得特別好,恐怕說不出來。從這門課的內容上說,是可以有很多種講法的。線性空間的重點自然是線性變換,那麼如果在定義空間和像空間裏面取定一組基的話,就有一個矩陣的表示。因此這門課的確是可以建立在矩陣論上的，而且如果要和數值搭界的話還必須這麼做。

1.蔣爾雄,吳景琨等的"線性代數"是那時候計算數學專業的課本,其教學要求據說是比數學專業相應的課程要高。因爲偏向計算,可以找到一些比較常用的算法，我個人以爲還是比較有意思的。

2.屠伯壎等的"高等代數"將80%的篇幅貢獻給矩陣的有關理論，有大量習題,特別是每章最後的"選做題".能獨立把這裏面的習題做完對於理解矩陣的各種各樣的性質非常有益。當然這不是很容易的: 據說屠先生退休時留下這麼句話:"今後如果有誰開高等代數用這本書做教材,在習題上碰到麻煩的話可以來找我." 由此可見一斑。如果從習題方面考慮,覺得上面的書太難吃下去的話,那麼下面這本應該說是比較適當的。

3.屠伯壎等的"線性代數-方法導引"。這本書比上面那本可能更容易找到,題目也更"實際"些，值得一做。另外,講到矩陣論.就必須提到

4.甘特瑪赫爾的"矩陣論"。這恐怕是這方面最權威的著作了，譯者是柯召先生。在這套分兩冊的書裏面,講到了很多不納入通常課本的內容。舉個例子,大家知道矩陣有Jordan標準型,但是化一個矩陣到它的Jordan標準型的變換矩陣該怎麼求?請看"矩陣論"。這書裏面還有一些關於矩陣方程的討論,非常有趣.

5.許以超的"線性代數和矩陣論"。這本書寫得很不錯,習題也不錯。必須指出,這裏面其實對於空間的觀念很重視。不管怎麼樣,他還是算華先生的弟子的。

6. 華羅庚的"高等數學引論"。華先生做數學研究的特點是其初等直觀的方法別具一格,在矩陣理論方面他也有很好的工作.甘特瑪赫爾的書裏面你只能找到兩個中國人的名字,一個是樊畿先生,另一個就是華先生。可能是他第一次把下述觀點引進中國的數學教材的(不記得是不是在這本書裏面了):n階行列式是n個n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個把一組標準基映到1的反對稱線性函數。這就是和多線性代數或者說張量分析的觀點很接近了。高等代數的另外一種考慮可能是更加代數化的，比如

7.賈柯勃遜(N.Jacobson)Lectures on Abstract Algebra ,IIinear AlgebraGTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31("抽象代數學"第二卷:線性代數)

8.Greub Linear Algebra(GTM23)其實更多講的是多線性代數.裏面的有些章節還是值得一讀的.

9.丘維聲的"高等代數" (上,下) 相當不錯，特點是很全,雖然在矩陣那個方向沒有上面提到的幾本書將得深,但是在空間理論,具體的說一些。幾何化的思想上講得還是非常清楚，多項式理論那塊也講了不少。

10.李炯生,查建國的"線性代數"是科大的課本,可能是承襲華先生的一些傳統把,裏面有些內容的處理在國內屬於相當先進的了。從常微分方程開始,數學課就變成沒底的東西,每一個標題做下去都是數學研究裏面龐大的一塊。對於一門基本課程應該講些什麼也始終討論不斷，這裏我打算還是從現行課本講起。

（四）常微分方程的參考書

常微分方程這門課,金福臨和李迅經先生在六十年代寫過一課本,第一版在今天看來還是很好的一本課本，但第二版有那麼點不敢恭維。不知爲什麼,似乎這本書對具體方程的求解特別感興趣,對於一些比較"現代"的觀點,比如定性的討論等等相當地不重視。最有那麼點好笑的是在某個例子中(好象是介紹Green函數方法的),在解完了之後話鋒一轉,說"這個題其實按下面的辦法解更簡單..."而這個所謂更簡單的辦法是根本不具一般性的.

下面開始說參考書,毫無疑問,我們還是得從我們強大的北方鄰國說起.

1. 彼得羅夫斯基的"常微分方程講義"。在20世紀數學史上,這位前莫斯科大學校長佔據着一個非常特殊的地位.從學術上說,他在偏微那一塊有非常好的工作。他這本書在相當長的時期裏是標準教材。

2.龐特里亞金的"常微分方程"。龐特里亞金院士十四歲時因化學實驗事故雙目失明,在母親的鼓勵和幫助下,他以驚人的毅力走上了數學道路,別的不說,光看看他給後人留下的"連續羣"、"最佳過程的數學理論",你就不得不對他佩服得五體投地,有六體也投下來了。

現代數學的一大特色即是已完全建立了一套自己的表達方式，沒一個學科象數學這樣創造了這麼多的概念。現代數學傳播的一大困難也在於此,要向一個非本行(哪怕是數學裏另外一個分支的專家)解釋清楚一個概念恐怕也要費上半天口舌。但在另外一方面數學是如此有用, 而且數學的抽象性使得一個數學觀點往往可以表徵其它學科的許多看似毫無關係的對象，所以現代數學還是挺值得一學的。自學不是件容易的事情,特別是數學。從動機上說,如果是想系統學一下大學數學系的課程的話，我的建議還是跟班聽課,這比自己找書看要省力的多，在可以考慮的書籍方面,以前上海科技出版社出過一套

1."大學數學自學叢書"應當說編得是不錯的.
2.趙慈庚,朱鼎勳的"大學數學自學指南"。趙先生是上面那套書的主編,這本書基本上以上面那套書爲藍本,也給出了一些參考書。關鍵是對每一門課的具體內容都有一個詳細說明，好象是高等教育出的。下面轉到歐美方面

3.Coddington & Levinson的"Theory of Ordinary Differnetial Equations"自五十年代出版以來就一直被奉爲經典。說老實話這書裏東西太多,自己看着辦吧。比較"現代"的表述有

4.Hirsh & Smale的"Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems" (中譯本"微分方程,線性代數和動力系統")。這兩位重量級人物寫的書其實一點都不難念, 非常易懂，所涉及的內容也是非常基本,重要的。關於作者嘛, 可以提一句,Smale現在在香港城市大學,身價是三年1000萬港幣，我想稱他爲在中國領土上工作的最重要的數學家應沒有什麼疑問。

5.Arnol‘d 的"常微分方程"。必須承認,我對Arnol‘d是相當崇拜的。作爲Kolmogorov的學生, 他們兩就佔了KAM裏的兩個字母。他寫的書,特別是一些教材以極富啓發性而著稱.實際上,他的習慣就是用他自己的觀點把相應的材料全部重新處理一遍。從和他的幾個學生的交往中我也發現他教學生的本事也非常大，特別是他的學生之間非常喜歡討論,可能是受他言傳身教的作用吧。他自己做學生的時候就和其他幾個學生(都是跟不同的導師的)組織了討論班,互相教別人自己的專長,想想這裏都走出來了些什麼人物吧: Anosov, Arnol‘d, Manin, Novikov, Shavarevich, Sinai...由此可見互相討論的重要性。從學術觀點上說,他更傾向於比較幾何化的想法,在這本書裏面也得到了相當的體現。近年來,Arnol‘d對於 Bourbaki的指責已經到了令大家瞠目結舌的程度。不過話說回來,在日常生活中他還是個非常平易近人的人,至少他的學生們都是這麼說的。這本書有中譯本,不過應當指出譯者的英文水平不是很高, 竟然會把"北極光"一詞音譯,簡直笑話。再說一句,Arnol‘d的另外一本書,中文名字叫"常微的幾何方法...."的,程度要深得多。看了半天,講來講去都是外國人寫的東西,有中國人自己的值得一看的課本嗎?答曰Yes.

6.丁同仁,李承治的"常微分方程教程"絕對是中國人寫的最好的常微課本,內容翔實,觀點也比較高。

7.卡姆克(Kamke)常微分方程手冊,那裏面的方程多得不可勝數。

對於變係數常微分方程,有一類很重要的就是和物理裏常用的特殊函數有關的。對於這些方程,現在絕對是物理系的學生比數學系的學生更熟悉。我的疑問是不是真有必要象現在物理系的"數學物理方法"課裏那樣要學生全部完全記在心裏。事實上,我很懷疑,不學點泛函的觀點如何理解這些特殊函數系的"完備性",象

8.Courant- Hilbert的"數學物理方法"第一卷可以說達到古典處理方法的頂峯了,但是看起來並不是很容易的。我的理解是學點泛函的觀點可以獲得一些統一的處理方法,可能比一個函數一個方法學起來更容易一些。而且,

9.王竹溪,郭敦仁的"特殊函數概論"的存在使人懷疑是不是可以只對特殊函數的性質瞭解一些框架性的東西,具體的細節要用的時候去查書。要知道,查這本書並不是什麼丟人的事情, 看看揚振寧先生爲該書英文版寫的序言吧:"(70年代末)...我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的‘特殊函數概論‘...從此這本書就一直在我的書架上,...經常在裏面尋找我需要的結論..."連他老先生都如此,何況我們?

（五）“單複變函數論”的參考書

單複變函數論從它誕生之日(1811年的某天Gauss給Bessel寫了封信,說"我們應當給‘虛‘數i以實數一樣的地位...")就成爲數學的核心, 上個世紀的大師們基本上都在這一領域裏留下了一些東西,因此數學的這個分支在本世紀初的時候已經基本上成形了。到那時爲止的成果基本上都是學數學的學生必修的。

1.範莉莉,何成奇的"複變函數論"講的東西也不是很難,包括那些數量很不少的習題。但是做爲第一次學的課本,應當說還不是很容易的。總的說來,從書的序言裏面列的參考書目就可以看出兩位先生是借鑑了不少國際上的先進課本。如果要列參考書的話,單復變的課本真是多得不可勝數,從比較經典的講起吧:

2.普里瓦洛夫的"複變函數(論)引論"這是我們的老師輩做學生的時候的標準課本。內容翔實,具有傳統的蘇聯標準課本的一切特徵。聽說過這麼一個小故事: 普里瓦洛夫是莫斯科大學的教授,一次期末口試(要知道,口試可比筆試難多了,無論是從教師還是從學生的角度來說),有一個學生剛走進屋子,就被當頭棒喝般地問了一句"sin z有界無界?"此人稀裏糊塗地回答了一句"有界",就馬上被開回去了,實在是不幸之至。

3.馬庫雪維奇"解析函數論 (教程?)" 這本厚似磚頭的書比上面這本要深不少。這本書的一個毛病是它喜歡用自己的一套數學史,所以象Cauchy-Riemann方程它也給換了個名字,好象是 Euler-D‘Alembert吧! 再說點西方的:

4.L.Alfors(阿爾福斯)的"Complex Analysis(複分析)"應該是用英語寫的最經典的複分析教材。Alfors是本世紀最重要的數學家之一(僅有的四個既得過Fields獎又得過 Wolf獎的人物之一),單復變及相關領域正好是他的專長。他的這本課本從六十年代出第一版開始就好評如潮,總書庫裏面有英文的修訂本,建議還是看英文的。

這裏需要說明的是,複分析在十九世紀的三位代表人物分別對應三種處理方式:Cauchy--積分公式;Riemann--幾何化的處理; Weierstrass--冪級數方法.這三種方法各有千秋,一半的課本多少在其中互有取捨.Alfors的書的處理可以說是相當好的.

5.H.Cartan(亨利.嘉當)的"解析函數論引論"。這位Bourbaki學派碩果僅存的第一代人物在二十世紀複分析的發展史上也佔有很重要的地位。他在多復變領域的很多工作是開創性的。這本課本內容不是很深,從處理方法上可以算是Bourbaki學派的上程之作(無論如何比那套"數學原理"好念多了:-))

6.J.B.Conway 的"Functions of One Complex Variable"(GTM 11)和"Functions of One Complex Variable,II" (GTM 159)(GTM=Graduate Mathematics Texts, 是Springer-Verlag的一套叢書,後面的數字是編號)第一卷也是1.的參考書目之一.作者後來又寫了第二卷.當然那裏面講述的內容就比較深一點了.這本書第一卷基本上可以說是Cauchy+Weierstrass,對於在1.中佔了不少篇幅的Riemann的那套東西要到第二卷裏面才能看到.

7.K.Kodaira(小平邦彥)的"An Introduction to Complex Analysis" 。Kodaira也是位複分析大師,是Fields+Wolf。這本書屬於"不深,但該學的基本上都有了"的那種類型。需要注意的是這本書(英譯本)的印刷錯誤相對多,250來頁的書我曾經列出過100多處毛病。由此我對此書的英譯者F.Beardon極爲不滿,因爲同樣Beardon自己的一本 "Complex Analysis"我就找不出什麼錯。

偶記得國內的復變教材還有北大莊圻泰的<<複變函數>>, 不記得是不是和張南嶽合寫的。應該是不錯的，習題較多。科大嚴鎮軍也有一本<<複變函數>>也不錯。其他的復變書都大同小異，偶還記得有本鍾玉泉的館藏考貝最多。下面說說習題

9.G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數學分析中的問題和定理"第一卷的後半段就是單復變的相當高質量的習題,第二卷的大部分也是, 只不過那就有點太過專門了而已.看看這本書的序言就可以多少體會到單復變的地位了.一般來說,裏面的題目都有答案或提示,不過我以爲一般來說還是可以獨立做出來的.

10."解析函數論習題集"實在不好意思,作者(大概是三個蘇聯人)的名字忘了,這本書裏面的題目相當多。

其它的書我認爲可以翻翻的包括

11.張南嶽,陳懷惠的"複變函數論選講"。這是北大出版的研究生課本,基本上可以說和上面提到的 Conway的第二卷屬於同一水平。從內容上來看,第一章"正規族",第二章"單連通區域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函數"同樣如此。看一點第七章"Gamma函數和Riemann zeta函數"(這部分內容在6.裏面也有),然後去看

12.J.-P. Serre(塞爾)的"A course of Arithmetics"(數論教程)第二部分的十來頁東西就可以理解下述
Dirichlet定理的證明了: "a,b互素,則{am+b}裏有無窮多個素數"。Serre也是本世紀傑出的複分析,代數幾何,
代數專家.他28歲得 Fields獎的記錄至今還沒有人能夠打破.他寫的書一向以清晰著稱。

13.莊圻泰,何育瓚等的"複變函數論(專題?)選講"。差不多的題目應該有兩本,一本比較薄,從Cauchy積分公式的同倫,同調形式講起,屬提高性質.另外一本記憶中就覺得太專門了點。除此之外,講單復變的還有兩本書,不過可能第一遍學的時候不是很適合看。

14.W.Rudin的"Real and Complex Analysis"。必須承認,Rudin很會寫書,這本書裏面他把對應與我們的復變,實變,泛函的許多東西都串在一起了。

15.L.Hormander 的"An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"。這是本標題下出現的第三位Fields+Wolf的人物。他的這本多復變的課本也是經典,其工具主要是微分算子的L^2估計。這裏有用的是它的第一章, 可以說第一次看這部分講單復變的內容一般都會有一種耳目一新的感覺。講個細節,就是Cauchy積分公式對於一般可微函數的推廣叫Cauchy- Pompeiu公式,基本上多復變的課本都會提到而單復變的書都不講。其實只要你看一下它的形式就會知道這個公式的用處是很大的,不妨試試拿它來算一些奇異積分.

16.Titchmarch的"函數論"是本老書,相當有名，一半多的篇幅是講復變的,看看可以知道二十世紀上半葉的函數論是什麼樣子。除此之外的意義是,程民德先生在他給陳建功先生做的傳中寫到:"(三十年代的浙大)陳先生開的複分析課程幾乎包括Titchmarch函數論除實函數外的全部內容.."

17.戈魯辛的"複變函數幾何理論"也很老了，但價值並不因時間的推移而改變。作者也是很好的數學家,夏道行先生當年在蘇聯的最好的工作之一就是解決了戈魯辛的兩個猜想。最後講一本書

18. R.Remmert的"Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics)。Remmert是德國的多復變專家,他的這本書一點也不深, 其最大特色是收集了很多歷史資料,把許多概念的來龍去脈交代的異常清楚.

12.的作者J.-P. Serre成爲第五位既得過Fields獎又得過Wolf獎的數學家(前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor) 這門課沒讀過,不過如果現在的課本還是

（六）“組合數學”的參考書

1.I.Tomescu 的"組合學引論"的話,倒還是想說兩句的。首先,這是本很好的書,不管上不上這門課都值得一讀.
其次,這本書的習題不是很好做的,特別是沒有答案 (嚴肅的說,當你看到許多習題後面都標有人物,年代,就該知道這些結果不是那麼平凡的了)作爲補充,可以考慮

2.I.Tomescu 的"roblem in graph theory and combinatorics(???)"有比較詳細的提示和解答,題目也非常好,

3.Lovasz 的"roblems in Combinatorics(?)"是本相當好的習題集,作者Lovasz是唯一一個得過wolf獎的組合學家，唯一的可能有麻煩的地方這本書的塊頭大了點,不過千萬不要被嚇倒!

4.Bondy,Murty的"Graph Theory and Applications(?)"(中譯本:圖論及其應用,科學出版社) 內容翔實,寫得很易讀, 而且有許多難度適當的習題。注意這些習題不僅在書後(好象)，有簡短的提示,而且圖書館裏還有一本

5."圖論及其應用"習題解答做得還算不錯吧。翻譯成中文的書裏面, 還有上海科技出版的

6.Harary(哈拉里)的"Graph Theory"(圖論) 的習題基本上都是從人家的論文裏面直接找來的,所以有相當難度,雖說那裏給出了非常詳細的文獻來源,但是有些還是很不好找的。這本書其實已經有點專著的味道了。講到圖論,還有象

7.B. Bollobas的"Graph Theory"(GTM 63)。Bollobas在劍橋吧,國際數學家大會上做過45分鐘報告。

8.G.Chartrand,L. Lesniak的"Graph and Digraphs"是本好書,淺顯易懂。此外還有

9.C. Berger的"Graph and Hypergraph"是這裏的框架性著作。還有一些不講或不專講圖論的組合書,中文的有

10.李喬的"組合數學基礎"寫得很不錯
11.I. Anderson的"Combinatorics of Finite Sets"
12.Bollobas的"Combinatorics"
13.Ryser(賴瑟)的"組合數學"有一些講組合設計的章節還是很簡單明瞭的。至於象
14.魏萬迪的"組合論"感覺好象篇幅太大了點,而且你很快就會發現其實這書很不好看。着重算法的書很多就是計算機類的了, 比如

15.朱洪等的"算法設計和分析"
16.盧開澄的"組合數學--算法與分析"。

組合數學有不少書是可以看着玩的,比如有本好象叫"Graph theory from Eulerto Konig"(等於就是說講現代圖論的史前史),等等。如果要求不是很高,那麼下面的書可能可以算篇幅不大,內容不深, 但多少也講了些東西的:

17.I. Anderson的"A First Course in Combinatorial Mathematics"
18.C.Berger" 組合學原理"(上海科技)
19.C.L.Liu(劉炯朗,現新竹清華大學校長)"組合學引論"。這書是魏萬迪翻的,就是印刷質量差了點，其它都還好,在北美的評價也不錯。此外,最近剛剛看到出了一本

20.Lovasz,et al.(ed.) "Handbook of Combinatorics"。厚厚的兩大本,裏面有很多人的文章,算得上是包羅萬象.

組合裏面還有一個非常有名的東西--四色定理, 關於它就是是否被證明了爭論了很多年,當真是仁者見仁,智者見智。當年的兩位主角Appel 和Haken寫過本書,就叫

21.Appel ,Haken"Every Planar Map is Four Colorable"如果你覺得這書塊頭太大,可以先翻翻他們在

22.Steen(ed.) "mathematics today" (中譯本:今日數學,上海科技)裏面的一篇通俗的文章,寫得非常好。最後補充canetti指出的

23.Reinhard Diestel "Graph Theory"(GTM173)。這本書裏講到了概率方法, 感覺是個很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields獎的T.Gower(這位是靠Banach空間理論得獎的,但他的組合功夫本來就很深, 現在好象乾脆就轉向組合了)

（七）抽象代數 的參考書

有的地方管這叫"近世代數", 近不近各人自己看着辦吧! 歷史上說,可以認爲嚴肅的討論是從伽羅華開始的,他在決鬥前夜下的那封著名的信件(裏面有"你可以公開向Jacobi或者Gauss提出請求,不是就這些結果的正確性,而是重要性,給出意見....",現藏法國國家圖書館).在後來的發展過程中,代數結構話的語言逐步滲透到數學的各個角落.到今天這已經是一門無處不在的分支了。北大的課本是

1.丁石孫,聶靈沼的"代數學引論"。這本書的特點和北大的那本高等代數一樣,就是沒什麼自己的特色,原因是這本書從體例到習題在很大程度上參考了

2.N.Jacobson的 "Basic Algebra I,II"。前面幾章的中譯本,應該是叫"基礎代數學"吧,不過翻譯質量一般。Jacobson在代數領域也屬於權威,是華先生同時代的人。這本書從觀點上說是相當現代化的,比同作者的那本

3.N. Jacobson的 "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32)(中譯本:抽象代數學,共三卷)要改進不少.

4.徐誠浩"抽象代數--方法導引" 。可以羅列的參考書還有很多, 綜合性的課本有名氣很大的

5.S.Lang的 "Algebra"。Lang寫書以清晰著稱,他的這本書還得過AMS發的Steel優秀圖書獎.

6.莫宗堅的"代數學(上,下)"。北大數學叢書裏面的一本,沒有很仔細地看過,但是感覺不錯.北大的一些同學對此書推崇倍至,認爲比1.寫得好.

7.熊全淹的"近世代數"。這本書的好壞不敢評論,不過這本書有個很大的特點, 就是作者收集了很多小文章, 比如許多American Mathematical Monthly上的短文。其它的就是比較專門的東西了，比如羣論，就有影響過無數學者的

6.庫洛什的"羣論"。注意這本書第二版和第三版中譯本的封面一模一樣。或者段學復先生的導師Robinson寫的

7.Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80) 。再有象(羣,代數)表示論,環論,模論等等,都有專著, 不過我是一竅不通的了。對於Galois理論,有本

8.E.Artin的"伽羅華理論"。非常薄,講得很精彩,絕對是本傳世佳作。還有

9.Edwards的"Galois Theory"(GTM 101)。這本書很有趣,它是循着Galois的原始想法寫的,因此和一般通行的教本里面的講法不是很一樣.

（八）實變與泛函的 參考書

1. 陳建功的"實函數論"。今天看來這裏面的內容相當古典, 但其中很多東西的講法到今天還是很好的.

2.夏道行,嚴紹宗,吳卓人,舒五昌的"實變函數論與泛函分析"第二版,上,下冊

3.楊樂,李忠編"中國數學會六十年"裏面嚴紹宗先生和李炳仁先生寫的文章.

4.E.Hewitt, K.Stromberg "Real and Abstract Analysis"(GTM 25)裏面有相當清晰簡潔的關於選擇公理及其等價命題的敘述.那裏寫到"The axiom of
choice does not perhaps play a central role in analysis, but when
it is needed, it is needed most urgently".這是很有道理的. 這個方向上擴展出去可以看

6.那湯鬆的"實變函數論"。在下冊裏面還有關於超限歸納法的描述.這本書是徐瑞雲先生翻譯的。另外,對於很多具體的點集的例子,有許多書可以參考,比如

7.汪林的"實分析中的反例"這是本非常非常好的書。作者是程民德先生的弟子.要記住的是,這不僅僅是一本講例子的書!和一些習題集和解答,比如

8." 實變函數論習題解答"。這是那湯鬆的書的習題解答.質量一般,不過好歹是本習題解答吧.

9."實變函數論的定理與習題"，記不清是誰寫的了,應該是某個蘇聯人。面有詳細的解答,質量相當高.

10.P.R.Halmos的 "Measure Theory"(GTM 18)(中譯本:測度論)的框架裏面。這本書實在不敢評論,自己看吧!這本書裏面還有一些精選的習題,有膽子和時間的話值得一做. 一本相當有趣的書可以看看, 就是

11.J.Oxtoby的Measure and Category(GTM2)。這裏的"category"不是指代數裏面的範疇,而是集合的"綱",講了很多有趣的東西。現在可以來談談

12. 周民強的"實變函數"(第二版)寫得不錯,總的說來最大的好處恐怕就是習題很多, 而且都是能做的習題。有一本很好的書, 可惜至今只打過幾個照面，就是：

13.程民德,鄧東皋的"實分析"。我見過這書裏面的一個測度的題目: m∗(E1capE2)+m∗(E1cupE2)leqm∗(E1)+m∗(E2)m∗(E1capE2)+m∗(E1cupE2)leqm∗(E1)+m∗(E2), 還是很有趣的! 此外,上一章裏面的參考書都可以搬過來。需要注意的一點是,有些書是純講Lebesgue積分的,比如6.12.等,有些細節上注意一下L與L-S的差別還是有用的.

14.I.E. Segal, R.A. Kunze的"Integrals and Operators" 和
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin的"函數論與泛函分析初步"。這些作者應該說都是相當好的數學家了。廣義測度和R-N定理更是非掌握不可的。最後問個小問題:"L^1®是R上全體可積函數全體構成的空間" 這句話對嗎?

在直線(或者更一般的局部緊羣上),是有可能先建立積分理論再導出測度的.比如下面將要講到的

16.夏道行,嚴紹宗,舒五昌,童裕孫的"泛函分析第二教程"裏面就有一些這方面的內容。此外還有象

17.夏道行,嚴紹宗的"實變函數與泛函分析概要(?)" 好象就是按照先積分再測度的辦法講的。另外用這一體系的書好象還有

18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy的"泛函分析講義"(Lecons d‘analyse fonctionnelle)也是不錯的書。對測度感興趣的話,還可以看一些動力系統裏面講遍歷理論(ergodic theory)的書,"那是真正的測度論"(J.M.Bony).

19.汪林的 "泛函分析中的反例"
20.夏道行,楊亞立的"拓撲線性空間"。不過基本上是第二作者寫的,所以建議有興趣的化還是看下面幾本

21.N.Bourbaki 的"Topological Vector Space"Chpt. 1-5。布爾巴基寫書是一章一章出的,這書能一次就包含五章,實屬罕見，而且估計今後也不會有後續的內容了。GTM裏面也有兩本是講拓撲線性空間這個題目的:

22.H.H.Schaefer的Topological Vector Spaces(GTM3) 和
23.J.L. Kelley, I.. Namioka的Linear Topological Spaces(GTM36)
裏面有一章也是講這東西的。其他許多以"泛函分析"爲標題的書也是以此爲出發點的,比如

24.S.K. Berberian的"lectures in Functional Analysis and Operator Theory" (GTM15)。
Berberian 也是很好的數學家,他譯的Connes的"Noncommutative Geometry"是個很好的版本,儘管後來Connes自己出了個內容更多的英文本。或者

25.W. Rudin的"Functional Analysis" 裏也有很多非常有趣的內容.Rudin的書都是很好的.

26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov 的"Functional Analysis" 不少人都說Nobel經濟學獎有不少是給數學家的,這話一點不錯,不過給計劃經濟體制下的數學家恐怕就Kantorovitch一位了.這是本很清晰簡潔的書, 中譯本的質量也很不錯. 此外還有

27..J.B. Conway的A Course in Functional Analysis"(GTM96)

28.Dunford,Schwarz的 "Linear Operators"I. 注意有些結論是可以把Banach空間減弱爲Frechet空間的,不過好象據說實際應用中除了廣義函數空間是個Frechet空間以外,其它用得並不多. 再補充一下前面漏掉的一本書:

29.W.Rudin "Real and Complex Ananlysis" 裏面可以看到不少實分析或者說泛函方法在復變中的應用。

Hilbert空間由於其上存在一個內積, 可以發展的性質比Banach空間要多得多。從空間本身來講,線性代數學好點對本章前面幾節有很大幫助,學的過程中密切注視維數無限導致的各種反例就是了。算子理論其實也一樣,腦子裏面清楚哪些有限維的性質是可以推廣到無限維的對整個體系的理解很有用。這裏可以做的習題非常多,特別是

30.P.R. Halmos的A Hilbert Space Problem Book(GTM19) 算得上傑作.
"The only way to learn mathematics is to do mathematics"
就出自這裏。再往下去研究算子代數的話,就實在"是沒有底的東西了"(陳曉漫)。在16.裏面有一章講些基本概念。這一塊的文獻也是浩如煙海, 因爲學得太少,不敢妄加評論,只想指出一本書,

31.G.K. Pedersen的"C*-Algebras and their Automorphism Groups" 。
這書連A.Connes都說好,我想決不會差到哪裏去。再說兩句A.Connes,關於他的工作,或者說整個算子代數往後來的非交換幾何的發展歷史, 特別是這一分支從其開始的階段就和量子物理的聯繫,可以看

32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici的
"Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes"
AMS Notice,v.44(1997),No.7

33.A.Lesniewski的"Noncommutative Geometry"。
AMS Notice,v.44(1997),No.7 。還有

34.Irving Segal的 Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes。
AMS Bulletin,v.33(1996),No.4 。因爲

35.Alain Connes(Fields 82) 的"Noncommutative Geometry" 可以說是這一塊的里程碑式的著作,(33.中甚至說今後人們會用今天看Riemann的就職演說的眼光看這本書)。所以對於這本書的評論很多，也就把整個分支都評論進去了,不妨看看。做爲老前輩,Segal的書評裏面有一些批評,也值得注意.

在廣義函數的標題下最有名的應該是

36.I.M.Gelfand 等的"廣義函數"(Generalized Functions,I-V)。大概I-IV都有中譯本吧!.從泛函的角度,據說是第二本最有意思。另外還有兩本好書,不光是這一塊內容,從整體上講也是很好的泛函課本

37.K.Yosida(吉田耕作)的"Functional Analysis"。他也過兩種不同"規格"的書,一本比較厚,一本比較薄,都很好.

38.H.Brezis的"Analyse Fonctionelle"。Brezis是法國科學院院士, 非線性偏微的權威.他的這本書很見功力.如果能念法語的話絕對值得一讀。在Rudin的書25.裏面也講了不少廣義函數的內容, 特別有一章講Tauberian Theory,很有意思。

（九）“數學物理方程”和“偏微分方程”的參考書

1.谷超豪,李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻的"數學物理方程"(上海科技) 在這樣一個水平上(指不引進廣義函數,弱解等泛函裏面的概念)是相當不錯的。注意那些經典方程的推導裏面多少有一些近似的過程,這其實從某種意義上反應了所對應的微分算子的某些性質的穩定性.比如,對於經典的波動方程,3維及以上的奇數維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經典物理的時空裏面空間維數必須是奇數的一個證據),你在其它一些書(或者說以後)可以看到,差不多二階雙曲方程裏面只有波動方程有這樣的性質--但是別忘了,高維波動方程的推導裏面是有近似的,這說明什麼? 一階偏微分方程似乎是安排在常微的最後教的,常微的最後教不教我課不知道,有些東西還是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理, Ekeland拿來證明微觀經濟模型的合理性,然後說他看不出有存在C^infty推理的可能--數學經濟是怎麼回事, 可見一斑.你能說社會活動中的數據都是按t解析的嗎???!!! 學這門課的那個學期在忙着各種各樣考試(比如T,G等等), 故此沒能夠看太多的參考書.北大的課本可能相對更注重一些解的漸進估計等等,而復旦對於顯式解講得更多些.

2.谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),鄭宋穆的"數學物理方程"(人民教育?高等教育?)的題材,難度,例題,習題等等和1.非常接近。這本曾出過一本"官方的"習題解答, 那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了。那本解答對於做作業是很有幫助的. 比較容易找到的書裏面,

3.陳恕行,秦鐵虎的" 數學物理方程--方法導引"是本非常好的講習題的書。裏面的習題如果能夠全部做一遍的話,應付考試是綽綽有餘了.

8.O.A. Ladyzhenskaya的"The Boudary value Problems of Mathematical Physics"和5.一樣,都很經典.當然你要說它們陳舊我也沒話可說。既然這課叫數學物理方程,多少和物理沾點邊吧, 在這個方向上我以爲

9. 李大潛,秦鐵虎的"物理學與偏微分方程"(高教)還是很不錯的.該書的起點並不高,應該比較容易看. 據說該書的責編極爲負責, 認真到連裏面的公式都一個個去推導的地步. 從課程設置的角度上說,其實有一些深度介於
本科課程和研究生的那門偏微基礎課之間的書(包括不少經典)都可以在這段時間裏面看看的. 比如

10.L.Bers, F. John, M. Scheter, "artial Differential Equations"。Bers是個很有趣的人,可以看看

11.L.Steen, ed.的"今日數學"(Mathematics Today) 裏的文章.附帶說一句,這本書是最好的數學普及讀物之一,絕對值得一看,中譯本的質量也不錯.

12.F. John的"artial Differential Equations"。

13.J. Rauch的"artial Differential Equations"(GTM128)

14.M. Taylor的"artial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
後面這本看前半就可以,後半也看當然更好:-))。引G. Lebeau的一句話,這書比

15.L. Hormander的"Linear Partial Differential Operators, I"要好念多了.
(當然基本上人人都是這麼認爲的,只不過這位的來頭比較大而已--法國科學院通訊院士)。我拓撲學得很差 (從總體上說),因此這裏我也說不出太多東西.

（十）“拓撲”的 參考書

1.李元熹,張國(木樑)的"拓撲學"的前兩章還是不錯的.至少該講的東西都講了,而且後面羅列(我想不出還有什麼更好的形容詞)了許多習題,做上一遍是很有趣的一項工作. 中文的參考書裏面好象

2. 熊金城的"點集拓撲講義"是比較好的.該書也有些名氣. 不過要好好學,可能還是看下面的兩本比較經典的書:

3.J.L. Kelley的"General Topology"(GTM 27)名頭很響,55年出版的時候應該算得上是把這一領域裏面的結果做了個很好的總結.該書是想寫成課本的，因此每章後面都有習題,按A,B,C, D,...編號.只是....真要做起來未免有些困難.聽說過這樣一個故事,就是曾有位華裔數學家回國講學的時候於酒席間說他的老師要他去學拓撲,指明看 Kelley的書,而且要習題全做.結果大家都笑了,因爲大家都明白這目標不是很現實. 我個人的經驗是,在那個學期陷入各類考試的重圍中之前,還做了前面兩三章的題目.是比較困難,但是做起來也非常有趣. 再補充一本中文的書,內容和1.差不多

4.尤承業的"基礎拓撲學"是北大的教材.

5.I.M.Singer, J.A.Thorp的"Lecture notes on elementary topology and geometry (中譯本基礎?)幾何學與拓撲學講義,幹丹巖譯)是極好的教材,應該可以用深入淺出來形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起證指標定理的那位,說是重量級人物當無疑義. 如果你只想查結果,我覺得可以去找

6.R.Engelking的"General Topology"七十年代末寫的,內容翔實。這裏屬於代數拓撲的起始部分,參考書一下子就比前面的多多了.講代數拓撲的書,可能

7.Greenberg 的"Lectures on Algebraic Topology"屬於寫得很通俗易懂,配置合理的那一類. 還有象GTM裏面的

8.W.S.Massay 的"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)也是寫得很好的書.

拓撲學是在十九世紀末興起，並在二十世紀中蓬勃發展的數學分支，現在已與近世代數，近世分析共同成爲當代數學理論的三大支柱。如果先要對該學科有一個感性的認識的話，建議看《拓撲學奇趣》巴爾佳斯基 葉弗來莫維契 合著。這本書只有不到兩百頁，可是覆蓋的面很廣，也有一定數量的有啓發性的題目。

M.A.Armstrong 的《基礎拓撲學》也是一本不錯的書。該書中的討論範圍有很多是基於Hausdorff空間，有些是甚至是在度量空間裏討論問題的，所以一些定理的證明就變的比較簡單易懂，例如Urysohn引理。

Spanier‘s "Algebraic Topology" can not be neglected.
it is a classic in this field, though it is not easy to read.

Aleksandrov‘s " Combinatorial Topology " is very good for beginner.
But it is too large, it contains 3 volumes.

Bredon‘s " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as the successor of Spanier‘s great book.

(十一)“微分幾何”的參考書

幾何是非常美妙的,通常人們提到幾何的時候會把直觀兩個字加上去. 這其實是很有道理的,在微分幾何中也不例外. 具體的說,就是雖然微分幾何往往會使人感覺被淹沒在計算的汪洋大海,但是有一個幾何的"感覺"是很有幫助的.

1.蘇步青,胡和生等"微分幾何"寫得不錯.這很大程度上應當感謝本書的主要作者,也就是書上列的第三作者沈純理先生. 應當承認這本書,特別是第三章, 取材受下書的影響：

2.Do Carmo(多卡模)"曲線和曲面的微分幾何學" "Differential Geometry of Curves and Surfaces"是本絕對的好書,胡先生他們把這本書翻譯出來實在是功德無量。1.的第三章裏有個習題是從2.的中譯本上搬過來的,不過有題意不清之嫌.做的時候要小心。還有一點要注意的是1.裏面曲面論基本定理的證明中有個地方漏印了兩項.

一般說來,看上面兩本書也就夠了,可以考慮的擴充部分包括在2.的末尾所開列的參考書目.這是我很少見到的帶書評的書目.

3.Eisenhart的"Diffenrential Geometry(?)"

4.Darboux的"Lecons sur la theorie generale des surfaces"。古典微分幾何的開山之做是

5.Gauss的"Disquisitiones generales circa superficies curvas"。這是拉丁文的(Gauss只有晚年最後的一些東西是用德文寫的)

6.P.Dombrowski 的"150 years after Gauss‘ ‘Disquisitiones generales circa superficies curvas‘ "裏有完全的英文翻譯和裏面的結果到20世紀70年代末的發展情況. 對於中文的課本,其實總數就不是太多.有象

7.吳大任的"微分幾何學(?)"或五十年代翻譯蘇聯的課本等等, 內容都差不多,而且微分幾何的特點是各人都喜歡用自己的一套符號, 許多符號,象曲率等等,常會有正負號的差異,所以建議認定一兩本,其它簡單翻翻即可. 所以說想找講解詳細的書還不如看

8.沈純理,黃宣國的"微分幾何"(經濟科學出版社,97)。雖然說這本書是自學考試的教材.那裏的習題也是有較詳細解答的. 更難一些的習題可以在

9. 姜國英,黃宣國的"微分幾何100例"。裏面的題目全部做下來的話,應付期末考試絕對是沒有問題的. 而且,如果老師有心考點難題的話,說不定就會有裏面的題目. 此外還有兩本蘇聯人的書

10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko "微分幾何與拓撲學教程"(中譯本,第一冊,第二冊).我沒有看到過是否有第三冊,反正這書是沒有翻全.其處理方法別具一格.

" 極小曲面"甚至可以不引進流形等概念,出現的最難的工具有時就是單復變的一些結果.參考書大概首推

11.R.Osserman 的"Lectures of Minimal Surfaces"篇幅不大,但內容豐富. 其它還有

12.J.C.C.Nitsche 的"Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1) 裏面關於Plateau問題講得很全,可惜至今我沒見到第二冊,而原來的德文版又看不懂(上面寫的是英譯本):-(

注意到微分幾何有許多東西並不象大家想象的那樣古老,比如Fray-Milnor定理,那J.Milnor還好好活着呢?再比如說等溫參數,幾乎必引的文獻就是陳省身先生 55年的文章. 看原始文獻可以讓人逐步體會一樣東西在它剛剛出現的時候是個什麼樣子, 這和經過無數再處理後寫進課本的講法往往是不一樣的. 補充一本《微分幾何》 蘇步青 原著 姜國英 改寫

（十二）“流形”的參考書

1.W.M.Boothby "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" 從某種技術性的觀點來說這書可能太羅嗦, 講到流形上的向量場就用了100多頁的篇幅,但我覺得初學看這書還是很好的,畢竟講得相當詳細,幾乎所以的東西都是有詳細證明的. 講到流形總是有兩種引進方法,一是從一開始就講一個局部和歐氏空間中的開集同胚的Haussdorf空間....然後再講微分結構等等. 中文書裏面有

2. 陳省身,陳維桓的"微分幾何初步" 很有大師風範,只是印刷質量不算太好.另外被認爲寫得比較好的中文書有

3.白正國,沈一兵,水乃翔,郭效英 "黎曼幾何初步"。這書的特點--要說就在於沒有特點,那實在是太過分點了--我認爲還是在於很細緻,既然不用象Boothby那樣在拓撲流形上花時間, 進入正題可以說比較快,而且有不少習題,書末更有一個索引,實在是本好書. 有胃口的話,還可以看看

4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov "Modern Geometry--Methods and Applications"的第一,二卷(GTM 94, 103,世界圖書新印過).該書的作者都是名家,除了對於這門課就事論事來說可能難了點外應該說不出有什麼不好.至少可以看看第二卷的第一章. 二是從歐氏空間中的子流形開始講.這樣的好處應該說是可以馬上看到很多例子,另外畢竟大多數情況下流形只有放在仿射空間或者射影空間裏面纔有點意思(至少在開始階段是這樣),從這一角度出發寫的微分幾何課本中有一本

5.Gallot, Hulin, Lafontain "Introduction to Riemannian Geometry"(?) 是Springer-Verlag Universitext中的一本,應該說寫得很好, 評價(我聽到的)也很不錯. 用這種觀點(其實用前一種觀點也一樣,多元函數的反函數定理,隱函數定理都是要明白的. J.Milnor曾經寫過兩本很有意思的書,裏面的講解都是非常精彩的,

6.J.Milnor Topology from a differential point of view (中譯本:從微分觀點看拓撲)

7.J.Milnor Morse Theory (中譯本:莫爾斯理論)講到微分形式,自然可以講流形上的積分,以及Stokes公式等等.這裏有

8.Spivak "Calculus on Manifolds"(?) (中文名字就叫"流形上的微積分").

有一點,就是大家千萬不要只會用 Stokes公式,真給你一個流形上的體積元去積一下反而不會,這千萬要不得.作爲練習,不妨試試復射影空間CP^n上的Fubini-Study形式積出來是多少?

9.V.I.Arnold "Mathematical Mathods of Classical Mechanics"裏關於微分流形,微分形式等等的介紹也很簡單明瞭. 還可以一看的書有

10.R.Narasimhan "Analysis on Real and Complex Manifolds" (中譯本:實流形和複流形上的分析,科學,1986)陸柱家翻譯這書是花了功夫的,連印刷錯誤都一一糾正.我想至少前一百頁是可以看的.

11. 蘇競存 "流形的拓撲學". 此書塊頭很大,內容翔實,而且有很多作者加的話, 有意思. 有本書,可能不入高手法眼,不過我覺得是很不錯的,

12.C. von Westenholz "Differential forms in Mthematical Physics" (有兩個中譯本,書名都是數學物理中的微分形式,理圖裏面至少有一個版本) 這是寫給念物理的人看的,因此只有條條框框,很多定理都沒有證明.但是好處在於:條理是清楚的,例子是豐富的(雖然很多例子沒有展開,但是至少開始階段該有的基本上都有了),而且這書裏還能給人一個大概的概念,這些東西學了都可以幹什麼用(主要是寫了一些在理論物理中的應用).對於到考試前還有點不知所云的人(比如說我那時候),應該說幫助不小. 至於侯伯元,侯伯宇的那本"物理學家用微分幾何",可能是太深了點,非物理學家不能理解.