主要內容
前言
在線性表中，數據元素之間僅有線性關係，每個數據元素只有一個直接前驅和一個直接後繼；
在樹形結構中，數據元素之間有明顯的層次關係，並且每一層中的數據元素可能和下一層的多個元素（子結點）相關，但只能和上一層的一個元素（父結點）相關；
在圖結構中，結點之間的關係是任意的，可以說樹形結構是特殊的圖結構。
圖的定義
圖（Graph）G由兩個集合V和G組成，記作G = (V,G)。其中V是各頂點（結點）的有窮非空集合，V中的任意兩個頂點配對後作爲集合E的元素，頂點偶對亦稱爲邊。
在有向圖中，E中的元素形式爲<x,y>，表示從頂點x到頂點y的一條有向邊，有向邊也稱作弧，x爲弧尾，y爲弧頭；
在無向圖中，E中的元素形式爲(x,y)，僅表示連接頂點x和頂點y的一條邊，效果同(y,x)。
在實際應用中，每條邊可以標上具有某種含義的數值，該數值稱爲邊上的權，這些權可以表示從一個頂點到另一個頂點的距離或耗費。這種帶權的圖又稱作網。
圖的存儲結構
由於圖的任意兩個頂點之間都可能存在聯繫，因此無法以數據元素在存儲區中的物理位置來表示元素之間的關係，即圖沒有順序存儲結構，但我們可以用二維數組（矩陣）來表示元素之間的關係——鄰接矩陣。除此之外還有鏈式存儲結構，包括鄰接表、十字鏈表和鄰接多重表。其中鄰接矩陣和鄰接表最常用。
鄰接矩陣
鄰接矩陣（Adjacency Matrix）是表示頂點之間相鄰關係的矩陣，存儲在二維數組中。
1）在無向圖中，若頂點v1與v2有聯繫，v1與v3沒有聯繫，則在矩陣中，(1,2)和(2,1)的值爲1，(1,3)和(3,1)的值爲0，對稱矩陣；
2）在無向網中，若邊(v1,v2)的權爲7，v1與y3沒有聯繫，則在矩陣中，(1,2)和(2,1)的值爲7，(1,3)和(3,1)的值爲∞（無限）；
3）在有向圖中，若v1爲弧尾，v2爲弧頭，v2不指向v1，則在矩陣中，(1,2)的值爲1，(2,1)的值爲0；
4）有向網的情況可以類推。
*需要注意的是，矩陣和二維數組的“座標”含義是不同的，矩陣的(1,1)等價於二維數組中的[0,0]。
鄰接矩陣僅記錄着任意兩點間的聯繫，我們還需要一個一維數組來記錄每個頂點的信息，有邊有頂點，這樣才能構成一個完整的圖。
清楚鄰接矩陣的使用方法後，我們可以輕鬆寫出以它爲基礎的圖的結構形式。
爲了避免概念的混淆，之後我會把圖稱作鄰接矩陣圖（AMGraph）。
/*鄰接矩陣的結構表示*/
#include <iostream>
using namespace std;
#define MaxInt 32767 /*表示∞（無限）*/
#define MaxVNum 100 /*表示圖中最多可以包含的頂點數*/
typedef char Vextype; /*將頂點的數據類型設爲字符型，如果你喜歡也可以把它設成更復雜的結構體*/
typedef int Arctype; /*將邊的權值設爲整型*/
typedef struct
{
Vextype vexs[MaxVNum]; /*用來保存頂點信息的一維數組*/
Arctype arcs[MaxVNum][MaxVNum]; /*鄰接矩陣*/
int vexnum, arenum; /*記錄圖的頂點數和邊數*/
} AMGraph; /*將結構體命名爲AMGraph*/
寫出鄰接矩陣圖的結構形式後，可以開始往裏面放東西了。
下面以“無向網”爲例寫一下鄰接矩陣表示法的使用方法：
<思路>
（1）數一下無向網有多少個頂點（vexnum），多少條邊（arcnum），然後將數值輸入。當然，你也可以憑空造一個網，在先前定義的MaxVNum內賦值就行。
（2）在一維數組vex內輸入頂點信息，一個循環完成。
（3）初始化鄰接矩陣，將每個權值初始化爲MaxInt。爲什麼呢？因爲矩陣裏除了若干個權值外，剩餘的都是MaxInt，不可能先把權值填好，再來一個個把沒有權值的地方填上MaxInt，這樣效率極低而且繁瑣。
（4）構造鄰接矩陣。依次輸入每條邊依附的兩個頂點v1和v2以及其權值w並賦值。因爲輸入的v1、v2有可能不在0~MaxInt的範圍內，而且矩陣和二維數組的“座標”含義是不同的，即矩陣的(1,1)等價於二維數組中的[0,0]，所以需要一個函數LocateVex()幫助判斷、轉化並確定“座標”。
int CreatUDN(AMGraph &G) /*UDN意爲Omnidirectional Net，無向網*/
{ /*上面<思路>中寫了的東西下面就不再囉嗦嘍*/
int i, j, w;
cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
for(i = 0; i < G.vexnum; i++) cin>>G.vexs[i];
for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
G.arcs[i][j] = MaxInt;
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++)
{
cin>>v1>>v2>>w;
i = LocateVex(G, v1); j = LocateVex(G, v2);
G.arc[i][j] = G.arc[j][i] = w;
}
return 0;
}
鄰接矩陣的優缺點：
1）優點：
a. 便於判斷兩個頂點是否有聯繫。確定頂點後再確定矩陣上的相應位置是否非0或非MaxInt即可。
b. 便於計算各個頂點的度。其實也不用計算，數就完事了。對於無向圖，多少個(1,n)的值爲1，v1的度就是多少；對於有向圖，多少個<1,n>的值爲1，v1的出度就是多少，多少個<n,1>的值爲1，v1的入度就是多少。
2）缺點：
a. 不便於增加和刪除頂點。非鏈式結構的通病。
b. 不便於統計邊的數目，需要遍歷鄰接矩陣的所有元素，時間複雜度爲O(n²)。無向圖遍歷完後還要除以2。
c. 空間複雜度高。非鏈式結構的另一通病，稀疏圖（邊或弧數較少）尤其浪費空間。
鄰接表
鄰接表（Adjacency List）是圖的一種鏈式結構。圖中有多少個頂點，就有多少個單鏈表，每個頂點分別作爲每個單鏈表的頭結點，與頂點相連的其餘頂點無序地（無特殊的順序要求）連接在對應的單鏈表上。
頂點間的關係蘊含在若干個單鏈表中，因此鄰接表圖（ALGraph）的結構體只需要包含{每個單鏈表的頭結點（即每個頂點）以及頂點數和邊數}。
爲了方便管理頭結點，我們可以把它們放到一維數組ALs[MaxVNum]中，且該一維數組的功能包含着鄰接矩陣圖中vexs[MaxVNum]的功能。
*下面將頭結點代表的頂點稱作起始頂點。
再把注意力放到單鏈表上，由於起始頂點已經確定，所以與起始頂點相連的每一個頂點都分別對應着一條邊，因此我們可以把單鏈表上的其餘結點看作邊結點。
邊結點需要包含的信息有{邊依附的另一個頂點編號（因爲頂點放在一維數組ALs[MaxVNum]中，所以頂點v1的編號爲0，如此類推）、指向下一個邊結點的指針以及邊上的權}。
頭結點需要包含的信息有{起始頂點的信息、指向下一個邊結點的指針}
依據上面的思路，我們一共需要創建三個結構體。
/*鄰接表的結構表示*/
typedef struct ArcNode /*邊結點*/
{
int anothervex; /*另一個頂點的編號*/
ArcNode *nextarcnode; /*指向下一邊結點的指針*/
int weight; /*權*/
};
typedef struct VexNode /*頭結點*/
{
VexType data; /*起始頂點的信息*/
ArcNode *nextarcnode; /*指向下一邊結點的指針*/
};
typedef struct ALGraph /*鄰接表圖*/
{
VexNode ALs[MaxInt]; /*頭結點數組*/
int vexnum, arcnum; /*頂點數、邊數*/
};
寫出鄰接表圖的結構形式後，可以開始往裏面放東西了。
下面以“無向圖”爲例寫一下鄰接表表示法的使用方法：
<思路>
（1）輸入無向圖的頂點數和邊數；
（2）在一維數組ALs[MaxVNum]中輸入起始頂點的信息，並使指針域初始化爲NULL，完成各單鏈表的初始化；
（3）構造鄰接表。輸入起始頂點va和相鄰頂點va的值，以及(va,vb)的權w。
（4）new一個臨時邊結點tempnode，使tempnode中“另一頂點的編號”爲vb的編號，並使其指針指向頭結點指針原本指向的“空間”，再令頭結點指針指向tempnode，完成tempnode的插入，即完成相鄰頂點的連接。
（5）因爲這個是無向圖，所以我們需要對稱地完成起始頂點爲vb的單鏈表的插入。
（6）在達到邊數arcnum前循環執行步驟(3)(4)(5)。
int CreatUDG(ALGraph &G)
{ /*下面的代碼已經按照<思路>步驟分塊嘍*/
cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
int i, j;
for(i =0; i < G.vexnum; i++)
{
cin>>G.ALs[i].data;
G.ALs[i].nextarcnode = NULL;
}
for(int k = 0; k < G.arcnum; k++)
{
cin>>va>>vb>>w;
i = LocateVex(G, va); j = LocateVex(G, vb);
tempnode1 = new ArcNode;
tempnode1->anothervex = j;
tempnode1->nextarcnode = G.ALs[i].nextarcnode;
G.ALs[i].nextarcnode = tempnode1;
tempnode2 = new ArcNode;
tempnode2->anothervex = i;
tempnode2->nextarcnode = G.ALs[j].nextarcnode;
G.ALs[j].nextarcnode = tempnode2;
}
return 0;
}
鄰接表的優缺點：
1）優點：
a. 便於增加和刪除頂點。
b. 便於統計邊的數量，時間複雜度爲O(n+e)。
c. 空間效率高。
2）缺點：
a. 不便於判斷頂點間是否有聯繫。
b. 不便於計算有向圖各個頂點的入度，需要遍歷其餘所有起始頂點的單鏈表。
對比鄰接矩陣與鄰接表
1）由上面總結的各自的優缺點可以看出，“我的優點就是你的缺點，and vice versa”。
2）一個圖的鄰接矩陣唯一，而鄰接表不唯一。前面提過，“圖中有多少個頂點，就有多少個單鏈表，每個頂點分別作爲每個單鏈表的頭結點，與頂點相連的其餘頂點無序地（無特殊的順序要求）連接在對應的單鏈表上”，因此每個單鏈表的鏈接次序取決於算法以及輸入。
3）鄰接矩陣和鄰接表是圖最常用的兩種存儲結構。（所以“十字鏈表”和“鄰接多重表”暫時就不詳細介紹嘍_(:з」∠)_）
4）在下一篇將會講到的“遍歷圖”中，不論是深度優先搜索還是廣度優先搜索，存儲結構爲鄰接矩陣的時間複雜度都爲O(n²)，存儲結構爲鄰接表的時間複雜度都爲O(n+e)。
十字鏈表
十字鏈表（Orthogonal List）是有向圖的另一種鏈式存儲結構，可以看作是有向圖的鄰接表（單鏈表的結點數-1爲出度）與逆鄰接表（單鏈表的結點數-1爲入度）結合起來的一種鏈表。
在十字鏈表中容易找到以vi（vi∈G(V)）爲弧尾或弧頭的弧，因而更容易求頂點的入度和出度。
鄰接多重表
鄰接多重表（Adjacency Multilist）是無向圖的另一種鏈式存儲結構。
對無向圖而言，鄰接表的缺點：每一條邊(va,vb)有兩個結點，分別在第a和第b個單鏈表中，這可能會給邊的搜索、刪除等操作帶來了不便。
鄰接多重表與鄰接表的區別僅在於，同一條邊，在鄰接表中要用兩個結點表示，而在鄰接多重表中只需要一個結點。
此外，鄰接多重表中增加了標誌域用以標記該條邊是否被搜索過，避免了同一條邊的重複搜索。
路過的圈毛君：“圖形結構分三塊講：構造圖、遍歷圖和應用圖。本來想一次寫完的，無奈精力有限，要做的事比較多.......而且我也差不多該開始護肝了_(:з」∠)_”