組合數學所關心的問題就是把某個集合中的對象排列成某種模式，使其滿足一些指定的規則，以下是反覆出現的通用問題：
1.排列的存在性（存在性，即能否排列問題）
2.排列的列舉或分類（計數，能用多種方法）
1.研究已知的排列
2.構造最優排列
組合數學是研究離散構造的存在、計數、分析和優化等問題的一門學科。
1.棋盤完美覆蓋
1）一張普通的棋盤，被分成8行8列共64個方格。假如有形狀相同的多米諾骨牌，每張牌正好可以覆蓋棋盤上兩個相鄰的方格。是否能夠把32張多米諾骨牌擺放在棋盤上，使得兩張牌重疊，且在每張牌覆蓋兩個方格的條件下覆蓋棋盤上的所有方格。
1961年 Fischer發現了這個數
一般棋盤擁有m行n列，被分成mn個方格。此時它的完美覆蓋不完全存在。它的完美覆蓋當且僅當m和n中至少有一個是偶數，或者等價於這個方格總是有偶數。
如果一個棋盤8*8，用一把剪刀剪掉兩個方格，剩下的62個能否用31張骨牌完美覆蓋。
解法：把8*8的方格交替着上黑色和白色，於是有了32個白色和32個黑色。如果剪掉相同顏色的方格則不能覆蓋；如果剪掉不相同顏色的方格，則可以覆蓋
2）m*n棋盤上b牌格完美覆蓋
（1）一個充分條件是b是m或n的一個因子時，成立。
假設m*n棋盤的b格牌覆蓋的完美覆蓋。我們要證明m或者n被b除時餘數是0。設m和n除以b時的商和餘數分別是p,g和r,s，則
m=pb+r,其中0<=r<=b-1
n=qb+s,其中0<=s<=b-1
如果r=0,那麼b是m的一個因子。如果s=0，那麼b是n的一個因子。通過交換這個棋盤的行和列，不妨設r<=s。於是證明r=0
這樣將棋盤考慮分成3個部分，上方pb*n部分，左下方r*qb部分，和右下方的r*s部分。
在上方部分，在每一種顏色出現p次，所以總共出現pn次。
在左下方，每一行上，每種顏色出現q次，因此他們總共出現rq次。
在右下方，r*s部分上，某種顏色出現的多少次。已知r<=s,且我們的着色特點使某種顏色在r*s部分的每一行上出現一次，所以r*s部分上出現r次。一方面共有rs個方格，另一種情況，b種顏色每種顏色都出現r次，共有rb個，則rs=rb,如果r不等於0，則s=b,與s<=b-1矛盾，必須有r=0。
所以：m*n棋盤有b格牌的完美覆蓋當且僅當b或者是m的一個因子或者是n的一個因子