[2017省隊模擬]填格子

題目鏈接

https://begin.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3850

題解

由於相鄰顏色不能相同，因此可以將原矩陣轉化成一個序列，其中第$i$個元素是第$i$列三種顏色中沒有出現的那種，可以證明三種顏色只會不出現一種。

由於一個$2\times 2$的矩陣中必須有所有的顏色，因此序列相鄰兩個顏色不能相同。

考慮序列中所有R所在的位置已經被確定好，那麼R將原序列分成了$R-1,R$或$R+1$段，每段都只能交錯的填$G,B$兩種顏色。假設分成$i$段的方案數爲$f(i)$，求$f(i)$可以枚舉兩種顏色個數的和爲偶數的段有多少段，假設爲$i$，則方案爲
$\binom{(k-i+a+b)/2-1}{k-1}\binom{k}{(k-i-a+b)/2}\binom{(k+i+a-b)/2}{(k-i+a-b)/2}2^i$

最終答案就是$(f(R+1)+2f(R)+f(R+1))\times 2$。

代碼

#include <cstdio>
#include <algorithm>

int read()
{
  int x=0,f=1;
  char ch=getchar();
  while((ch<'0')||(ch>'9'))
    {
      if(ch=='-')
        {
          f=-f;
        }
      ch=getchar();
    }
  while((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
      x=x*10+ch-'0';
      ch=getchar();
    }
  return x*f;
}

const int maxn=1000000;
const int mod=1000000007;

int T,fac[maxn+10],ifac[maxn+10],power[maxn+10];

int C(int a,int b)
{
  if(a<b)
    {
      return 0;
    }
  if(b<0)
    {
      return 0;
    }
  return 1ll*fac[a]*ifac[a-b]%mod*ifac[b]%mod;
}

int solve(int k,int a,int b)
{
  int res=0;
  for(int i=(k+a+b)&1; i<=k; i+=2)
    {
      res=(res+1ll*C((k-i+a+b)/2-1,k-1)*C(k,(k-i-a+b)/2)%mod*C((k+i+a-b)/2,(k-i+a-b)/2)%mod*power[i])%mod;
    }
  return res;
}

int main()
{
  fac[0]=1;
  for(int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    }
  ifac[0]=ifac[1]=1;
  for(int i=2; i<=maxn; ++i)
    {
      ifac[i]=1ll*(mod-mod/i)*ifac[mod%i]%mod;
    }
  for(int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      ifac[i]=1ll*ifac[i-1]*ifac[i]%mod;
    }
  power[0]=1;
  for(int i=1; i<=maxn; ++i)
    {
      power[i]=power[i-1]<<1;
      if(power[i]>=mod)
        {
          power[i]-=mod;
        }
    }
  T=read();
  while(T--)
    {
      int m=read(),r=read(),g=read(),b=read();
      r=m-r;
      g=m-g;
      b=m-b;
      if((r<0)||(g<0)||(b<0))
        {
          puts("0");
          continue;
        }
      if(g<b)
        {
          std::swap(g,b);
        }
      int ans=(solve(r-1,g,b)+solve(r,g,b)*2ll+solve(r+1,g,b))*2%mod;
      printf("%d\n",ans);
    }
  return 0;
}