讀書筆記: 博弈論導論 - 03 - 完整信息的靜態博弈 預備知識

讀書筆記: 博弈論導論 - 03 - 完整信息的靜態博弈 預備知識

預備知識

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

知識點

• 靜態完全信息博弈(static games of complete information)
  第一步：每個玩家同時並且獨立的選擇一個行動，（每個玩家都不知道別人的選擇情況）
  第二步：根據所有玩家選擇的行動，收益被分佈到每個玩家。

• 完全信息博弈(Games of Complete Information)
  一個完全信息博弈要求：下面四部分是博弈中所有玩家的公共知識。
  1. 所有玩家的所有可能的行動
  2. 所有可能的結果
  3. 所有玩家的各種行動組合產生什麼樣的結果
  4. 每個玩家對結果的傾向

• 公共知識(common knowledge)
  一個公共知識是一個事件E，並且 (1) 每個人都知道, (2) 每個人都知道每個人都知道，像這樣無限循環下去。

普通形式博弈

• 普通形式博弈(normal-form game)有下面三個特徵：
  1. 一組玩家
  2. 每個玩家有一套行動
  3. 一套收益函數：每個玩家的行動組合都有一個收益值。

• 策略(strategy)
  打算完成一個特定目標的行動計劃。

• 純策略(pure strategy)
  玩家i的一個純策略是一個確定性的（意味着沒有隨機性）行動計劃。
  \(S_i\)用來表示玩家i的所有純策略。

• 所有玩家的純策略組合(a profile of pure strategies)
  \(s = (s_i, s_2, \cdots, s_n), s_i \in S_i \text{ for all } i = 1,2,\cdots, n\)
  代表在一個博弈中所有n的玩家的一組選擇的純策略組合。

• 普通形式博弈(normal-form game)的數學表達
  1. 一個有限的玩家集合, \(N = {1, 2, \cdots, n}\)
  2. 每個玩家的純策略集合的組合, \({S_1, S_2, \cdots, S_n}\)
  3. 一套收益函數, \({v_1, v_2, \cdots, v_n}\)，對於每個玩家，每一種所有玩家選擇的策略組合，都有一個收益值。
     $v_i: S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \text{ for each } i \in N $

• 普通形式博弈(normal-form game)的數學表達例子：囚徒困境(The Prisoner's Dilemma)

  Players:\(N = {1,2}\)
  Strategy sets: \(S_i = {M, F} \ for \ i \in N\)
  Payoffs: Let \(v_i(s_1, s_2)\) be the payoff to player i if player 1 choose \(s_1\) and player 2 chooses \(s_2\)
  We can then write payoff are
  \(v_1(M, M) = v_2(M, M) = -2\)
  \(v_1(F, F) = v_2(F, F) = -4\)
  \(v_1(F, M) = v_2(F, M) = -5\)
  \(v_1(M, F) = v_2(M, F) = -1\)
  M: mum 沉默; F:fink 告密

2人有限博弈的矩陣表達

• 例子：囚徒困境(The Prisoner's Dilemma)

		Player 2
		M	F
Player 1	M	-2, -2	-5, -1
	F	-1, -5	-4, -4

方案設想(solution concept)

• 方案設想(solution concept)
  方案設想(solution concept)是一個分析博弈的方法，用於限定出所有可能的合理結果。
  一個方案設想將導致一個預言或者處方。

• 均衡(equilibrium)
  任何一種可以產生方案設想預言的策略組合。
  也就是可以任何一種導致合理結果的策略組合。

如果用因果關係來說明，均衡是（可以導致合理結果的）因，方案設想是（可以導致合理結果的）分析方法，因果關係的公共知識。
從權衡方面來說：方案設想就是一個權衡。均衡的權衡的結果。

• 方案設想的假設條件
  1. 玩家是理性的
  2. 玩家是智力的
  3. 公共知識：“玩家是理性的”和“玩家是智力的”是所有玩家的公共知識。
  4. 自我執行：方案設想的均衡必須是自我執行的。（每個玩家都會採用一種均衡結果）
• 方案設想的評估
  1. 存在性(Existence: How often does it apply?)
  2. 唯一性(Uniqueness: How much does it restrict behavior?)
  3. 不變性(Invariance: How sensitive is it to small changes?)
• 帕累託優勢(pareto dominate)
  策略組合s帕累託優勢於策略組合s'，其前提條件：對於每個玩家，在策略組合s中的收益都大於等於在策略組合s‘中的收益，並且至少有一個玩家，在策略組合s中的收益大於在策略組合s‘中的收益。

\[ v_i(s) \geq v_i(s'), \forall i \in N \\ \ v_i(s) > v_i(s'), \exists i \in N \]

參照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 01 - 單人決策問題
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 02 - 引入不確定性和時間