讀書筆記: 博弈論導論 - 11 - 完整信息的動態博弈 戰略協議

讀書筆記: 博弈論導論 - 11 - 完整信息的動態博弈 戰略協議

戰略協議(Strategic Bargaining)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

協議是多方對一個剩餘(surplus)，通過提議，嘗試達成一致意見。

一個兩人協議博弈的過程：

• 第一回合
  • 玩家1提出分配\((x, 1-x)\)，玩家1得到x，玩家2得到1-x。
  • 如果玩家2表示接受，博弈結束，\(v_1 = x, v_2 = 1-x\)。如果玩家2反對，進入下一輪
• 第二回合
  • 剩餘變成了\(1 - \delta\)。折扣率\(0 < \delta < 1\)
  • 玩家2提出分配\((x, 1-x)\)，玩家1得到x，玩家2得到1-x。
  • 如果玩家1表示接受，博弈結束，\(v_1 = \delta x, v_2 = \delta (1-x)\)。如果玩家1反對，進入下一輪。
• 第三回合及以後
  • 博弈如上繼續，在奇數回合，玩家2的反對則導致其在下一輪變成提議者，反之亦然。
  • 每個回合的繼續，到導致剩餘的一次折扣，在第t個回合，剩餘未\(\delta^{t-1}\)。

協議博弈和之前博弈的不同之處：

• 如果提議被接受，博弈會在任何回合結束。
• 收益只有在整個博弈結束時才產生，而不是每個回合就會產生。

只有一輪的協議：最後的話博弈(The ultimatum game)

take it or leave it.
推論：11.1

在一個T=1的協議博弈中，剩餘的任何分配都能被支持爲一個納什博弈：\(x^* \in [0, 1], (v_1, v_2) = (x^*, 1 - x^*)\).
推論：11.2
在一個T=1的協議博弈中，允許一個唯一的子博弈精煉均衡，在這個均衡中，玩家1提供\(x=1\)，並且玩家2接受任何\(x \leq 1\)。

有限回合的協議博弈

推論：11.3

任何子博弈精煉均衡必定導致玩家們可以在第一回合達成一致。
兩人奇數回合的協議博弈的結果
\[ v_1^* = x_1 = \frac{1 + \delta^T}{1 + \delta} \ and \ v_2^* = (1 - x_1) = \frac{\delta - \delta^T}{1 + \delta} \\ \lim_{T \to \infty} v_1^* = \lim_{T \to \infty} \frac{1 + \delta^T}{1 + \delta} = \frac{1}{ 1 + \delta} \\ \lim_{T \to \infty} v_2^* = \lim_{T \to \infty} \frac{\delta - \delta^T}{1 + \delta} = \frac{\delta}{1 + \delta} \\ \lim_{\delta \to 1} \lim_{T \to \infty} v_1^* = \lim_{\delta \to 1} \frac{1}{1 + \delta} = \frac{1}{2} \\ \lim_{\delta \to 1} \lim_{T \to \infty} v_2^* = \lim_{\delta \to 1} \frac{\delta}{1 + \delta} = \frac{1}{2} \\ \]

說明了

• 玩家1擁有last-mover take-it-or-leave-it 優勢和 first-mover折扣優勢，意味着: \(v_1^* > v_2^*\)。
• 如果玩家都是有耐性的（也就是說不接受達到自己最低要求的提議），則last-mover take-it-or-leave-it優勢消失了。
• 長期的回合消除了last-mover take-it-or-leave-it優勢。
• \(\delta = 1\)消除了first-mover優勢。

無限回合的協議博弈

兩人無限回合的協議博弈的結果
\[ \overline{v}_1 = \overline{v}_2 = \overline{v} \\ \underline{v}_1 = \underline{v}_2 = \underline{v} \\ \underline{v} = 1 - \delta \overline{v} \\ \overline{v} = 1 - \delta \underline{v} \\ \underline{v} = \overline{v} = \frac{1}{1 + \delta} \\ where \\ \overline{v} \text{ : the best subgame-perfect equilibrium} \\ \underline{v} \text{ : the worst subgame-perfect equilibrium} \\ \]

協議立法

封閉規則協議(Closed-Rule Bargaining)

博弈規則：

有N奇數個玩家，需要\(\frac{N+1}{2}\)個接受才能是提議通過。
在每個週期裏，每個玩家都有相同的可能性稱爲提議者。
博弈結果：
\[ where \\ k \text{ : the proposer's best response} \\ v \text{ : the expected payoff for any player i} \]

提議者的最佳收益：需要得到n-1的人的同意，由於折扣優勢，這個n-1個人的收益爲\(\delta v\)：
\[ k = 1 - \frac{N - 1}{2} \delta v \\ \]
迴應者的收益：有\(\frac{1}{N}\)可能性成爲提議者，拿到k；
有\(\frac{N - 1}{N}\)的可能性成爲迴應者，並且只有\(\frac{1}{2}\)的可能性（因爲提議者只提供收益給迴應者中的一半人）拿到\(\delta v\)。
\[ v = \frac{k}{N} + \frac{N - 1}{2N} \delta v \\ \]

計算結果:
\[ v = \frac{1}{N} \\ k(N) = 1 - \delta ( \frac{N - 1}{2N}) \\ \]

說明了

• 當回扣率增加，提議者的收益變少。
• 玩家越多，提議者收益越大，迴應者收益越少。

開放規則協議(Opened-Rule Bargaining)

博弈規則：

有N奇數個玩家。
提議者提出一個協議，
有一個修訂者提出一個修改協議。
如果提議者的協議通過了\(\frac{N+1}{2}\)。則被接受。
否則，修改協議變成主協議。
一個新的修訂者提出一個修改協議。
再次投票，重複上面的過程。

保證方案(guaranteed success)

無論那個響應者成爲修訂者，都可通過的方案。
案例：3個玩家。
\[ where \\ k \text{ : the proposer's best response} \\ v(k) \text{ : the expected payoff for any player i} \]

迴應者的收益：一方面爲\(\frac{1 - k}{2}\)，一方面爲\(\delta v(k)\)：
\[ \frac{1 - k}{2} = \delta v(k) \\ \]
修訂者的收益：由於對稱性，修訂者的給自己的收益\(v(k)\)應該是k。
\[ v(k) = k \\ \]

計算結果:
\[ k = \frac{1}{1 + 2 \delta} \\ \]

說明了

• 玩家越有耐心，提議者的付出越多。
• 封閉規則對提議者有利。

冒險方案(risky success)

冒一個部分響應者不會成爲修訂者的風險。
\[ where \\ k \text{ : the proposer's value to himself} \\ v(k) \text{ : the expected payoff for proposer} \\ v(0) \text{ : the expected payoff for the player who will be offered 0} \]

迴應者的收益：一方面爲\(1 - k\)，一方面爲\(\delta v(k)\)：
\[ 1 - k = \delta v(k) \]
提議者的期望收益：有\(\frac{1}{2}\)可能性拿到k；如果冒險失敗，有\(\frac{1}{2}\)可能性拿到v(0)。
\[ v(k) = \frac{1}{2} k + \frac{1}{2} \delta v(0) \\ \]
得到0的玩家的期望收益：有一半的可能性得到v(k)。
\[ v(0) = \frac{1}{2} \delta v(k) \\ \]

計算結果:
\[ k = \frac{4 - \delta^2}{4 + 2 \delta - \delta^2} \\ v(k) = \frac{2}{4 + 2 \delta - \delta^2} \\ \]

說明了

• 當\(\delta > \sqrt{3} - 1\)時，冒險方案更好。

參照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 01 - 單人決策問題
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 02 - 引入不確定性和時間
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 03 - 完整信息的靜態博弈 預備知識
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 04 - 完整信息的靜態博弈 理性和公共知識
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 05 - 完整信息的靜態博弈 納什均衡
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 06 - 完整信息的靜態博弈 混合的策略
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 07 - 完整信息的動態博弈 預備知識
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 08 - 完整信息的動態博弈 可信性和序貫理性
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 09 - 完整信息的動態博弈 多階段博弈
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 10 - 完整信息的動態博弈 重複的博弈
• Nash bargaining solution