Category Theory: 01 One Structured Family of Structures

這次看來要放棄了。看了大概三分之一。似乎不能夠讓注意力集中了。先更新吧。

羣的定義

$G = \{ G, +, e \}$，一個數據集$G$，一個二元操作符$+$，和一個幺元$e$。

滿足結合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$
滿足封閉性。
存在單位元：$e + a = a = a + e$
存在逆元：對於每一個a，存在一個逆元a': $a + a' = e$
如果滿足交換律，則是一個交換羣，也就是阿爾貝羣。

羣的同態(homomorphism)和同構(isomorphism)

定義：同態(homomorphism)
羣同態是一個函數f，應用於源羣$(G, *, e)$和目標羣$(G', *', e')$，滿足：
1. $f(x * y) = f(x) *' f(y)$
2. $f(e) = e'$
  e.g. $f(x) = e^x, e^{x + y} = e^x e^y$
定理：
1. 羣$(G, *, e)$，總有一個單位同態，$1_G : G \to G$.
2. 給定兩個同態$f: G \to H, g: H \to J$，存在一個組合同態$g \circ f : G \to J$.
3. 同態的組合滿足結合律(associative)，$j \circ (g \circ f) = (j \circ g) \circ f$
定義：同構(isomorphism)
羣同構$(f : G \simeq H)$是一個同態，如果其對應的函數是一個雙射。
定理：
一個羣同態$f: G \to H$是一個同構，當且僅當它有一個雙邊的逆，也就是說，有一個同態$f': H \to G$，有$f' \circ f = 1_G, f \circ f' = 1_H$。
定理
在羣之間的同構是一個羣之間的等價關係。

02 範疇的定義

一個範疇是一個帶標籤的有向圖，其節點爲對象(object)，帶有標籤的有向邊爲箭頭(arrow or morphism)。

一個範疇C包含2個數學實體：

對象集合：ob(C)
每個元素都是一個對象，一個對象又可以認爲是一個集合。
態射集合: hom(C)
態射集合的每個元素是一個態射, $f: a \to b$，每個態射f有一個源對象(source object) a和目標對象(target object)b。
$hom(a, b)$表示從a到b的所有態射。
每個態射$f: A \to B$有src()和tgt()，兩個屬性，可以獲得源對象和目標對象，i.e. $A = src(f), B = tgt(f)$。
性質：
- 二元操作：態射結合(composition of morphisms): $\circ$
  $f: a \to b, g: b \to c$ 的結合是 $g \circ f$。
公理
- 滿足結合律(Associativity): $ h \circ ( g \circ f ) = ( h \circ g ) \circ f $
  結合律意味着操作執行的次序不影響其總體結果，是等價的。但是操作元素的次序不能改變（不滿足交換律）。
- 存在恆等態射(identity):
  對於每個對象x，存在一個恆等態射(identity morphism) $1_x: x \to x$，
  其性質爲，對於任何態射$f: a \to b$，有$1_b \circ f = f = f \circ 1_a$
  恆等態射的含義是：定義了相同關係(equality relation A = B)。
  可以簡單的認爲是；$f(x) = x$。
定理：一個對象的單位箭頭是唯一的；不同對象的單位箭頭是不同的。

範疇的理解

對象
從編程語言的角度來說，一個類（範疇）並不需要一個對象集合。
一個類的對象集合是由這個類的屬性和方法決定的，是編程語言的各種數據類型和類的各種各樣的組合形式。
我們往往用元類型來描述範疇裏的對象。
態射
態射就是一個類的方法。
一個方法有多個輸入或者輸出，可以簡單地認爲其源對象或者目標對象是一個對象組合。
如何理解一個沒有輸入的靜態方法。

態射的種類

單態射(monomorphism) $\simeq$ 單射(injective)
滿態射(epimorphism) $\simeq$ 滿射(surjective)
雙態射(bimorphism) = 單態射(monomorphism) + 滿態射(epimorphism)
同構(isomorphism) = 雙態射(bimorphism) + 存在逆態射
自態射(endomorphism) = (src(f) = tgt(f))
自同構(automorphism) = 自態射(endomorphism) + 同構(isomorphism)
撤回射(retraction) = 存在右逆
部分射(section) = 存在左逆
同態 = 兩個數據結構之間滿足分配律。$f(x * y) = f(x) *' f(y)$

半幺羣和預次序集合

幺半羣(monoid)
沒有逆元限制的羣。
$(M, \dot, e_M)$，$\dot$是一個二元函數，$e_M$是一個顯著對象。
1. $\dot$是滿足結合律：$(a \dot b) \dot c = a \dot (b \dot c), \forall a, b, c \in M$
2. $e_M \dot a = a = a \dot e_M$
  例如：$(\mathbb{N}, +, 0)$是一個幺半羣。
預次序集合(pre-ordered collection)
$(M, \leqslant)$，具有:
1. $a \leqslant b, b \leqslant c \implies a \leqslant c$,
2. $a \leqslant a$
單調映射(monotone map)
作用於次序集合上的單調映射$f: (M, \leqslant) \to (N, \sqsubseteq)$，具有:
如果$a \leqslant b, \forall a, b \in M$,則$f(a) \sqsubseteq f(b)$。

範疇的例子

Mon
Mon是對象爲所有幺半羣，箭頭爲幺半羣同態。
Ord
Ord是對象爲所有預序組，箭頭爲他們之間的單調映射。
Set
Set是對象爲所有set，箭頭爲他們之間的任意集合函數。
Grp
Grp是對象爲所有group，箭頭爲group的同態。
Ab
Ab是對象爲所有abelian group，箭頭爲group的同態。
Rng
Rng是對象爲所有ring，箭頭爲ring的同態。
任取一個幺半羣$(M, \dot, e_M)$，定義範疇$\mathcal{M}$如下：
1. $\mathcal{M}$的唯一的對象是任何實體（不一定是M中的對象），我們稱其爲$\star$
2. $\mathcal{M}$的箭頭 $a : \star \to \star$就是幺半羣中的一個對象a；
3. 箭頭的組合$a \circ b$定義爲幺半羣對象的積$a \dot b$；
4. 單位箭頭1定義爲幺半羣的單位元$e_M$。

4: 範疇生範疇

對偶(duality)
對於一個範疇$\mathcal{C}$的對偶(dual)$\mathcal{C}^{op}$，也稱爲逆範疇、反向範疇(opposite)。滿足：
1. $ob(\mathcal{C}^{op}) = ob(\mathcal{C})$
2. 對於$\mathcal{C}, f : A \to B$，存在$\mathcal{C}^{op}， f : B \to $
3. 單位箭頭保持不變: $1_A^{op} = 1_A$
4. $\mathcal{C}^{op}$的複合定義： $f \circ^{op} g = g \circ f$
子範疇(subcategory)
$\mathcal{C}$ subcategory $\mathcal{S}$：
1. objects: some or all of the $ob(C)$,
2. arrows: some or all of the $hom(C)$,
3. for each $o \in ob(S)$, the arrow $1_o \in hom(S)$
4. for any arrow $f: C \in D, g: D \to E$, the arrow $g \circ f: C \to E \in hom(S)$
全子範疇(full subcategory)
$\mathcal{C}$ subcategory $\mathcal{S}$ is a full subcategory, when：
$\forall A, B \in ob(S), hom_S(A, B) = hom_C(A, B)$
積範疇(product category)
等價關係(congruence relation)
商範疇(quotient category)
商範疇$\mathcal{C}/\sim = （ob(C), hom(hom(X \to Y）\to \sim class)$是對一個範疇，按照某種屬性進行分類。
商範疇的態射，我的理解是：C的態射 -> 一個具體的分類屬性。
還有一個理解是：$A \to B, A \sim B$
一個例子：
If X is the set of all cars, and ~ is the equivalence relation "has the same color as", then one particular equivalence class consists of all green cars. X/~ could be naturally identified with the set of all car colors.
箭範疇(Arrow categories)
一個範疇$\mathcal{C}$的派生箭範疇$\mathcal{C}^{\to}$，
$ob(C)$是範疇$\mathcal{C}$的所有箭頭$hom(C)$。
給定一個$\mathcal{C}^{\to}$的對象$f_1, f_2 | f_1 : X_1 \to Y_1, f_2 : X_2 \to Y_2$，
可以派生一個$\mathcal{C}^{\to}$的箭頭$f_1 \to f_2$是一個匹配$(j, k) | j : X_1 \to Y_1, K : X_2 \to Y_2 \in hom(C)$,
切片範疇(Slice categories)
一個範疇$\mathcal{C}$的派生切片範疇$\mathcal{C}/I, I \in ob(C)$,
$(A, f) \in ob(C/I) | A \in ob(C), f : A \to I \in hom(C)$,
$j' : (A, f) \to (B, g) \in hom(C/I) | j : A \to B, g \circ j = f, j \in hom(C)$,
$1_{(A, f)} = 1_A : A \to A | 1_A \in hom(C)$
$j : (A, f) \to (B, g), k : (B, g) \to (C, h), k \circ j : (A, f) \to (C, h) | k \circ j \in hom(C)$

5: Kinds of arrows

Monomorphism vs Injective

definition: monomorphism
An arrow $f : C\to D$ in the category $\mathcal{C}$ is a monomorphism (monic) if and only if it is left-cancellable..
left-cancellable - 左可消除。
i.e. for $g : B \to C$ and $h : B \to C$, if $f \circ g = f \circ h \implies g = h$
Theorem : the monomorphisms in Set are exactly the injective functions
意味着不是所有的範疇的單射都是單射方法。
Theorem : the monomorphisms in Grp are exactly the injective group homomorphisms

Epimorphism vs Surjective

definition: epimorphism
An arrow $f : C\to D$ in the category $\mathcal{C}$ is a epimorphism (epic) if and only if it is right-cancellable..
right-cancellable - 右可消除。
i.e. for $g : B \to C$ and $h : B \to C$, if $g \circ f = h \circ f \implies g = h$
Theorem : the epimorphisms in Set are exactly the surjective functions
意味着不是所有的範疇的滿射都是滿射方法。
Theorem : the epimorphisms in Grp are exactly the surjective group epimorphisms
Theorem :
1. 單位箭頭總是單射，並且也是滿射。
2. 如果f, g是單射，$f \circ g$也是單射。
3. 如果f, g是滿射，$f \circ g$也是滿射。
4. 如果$f \circ g$也是單射，則g是單射。
5. 如果$f \circ g$也是滿射，則f是滿射。

逆態射(Inverses)

定義：在範疇$\mathcal{C}$中給定一個箭頭$f : C \to D$,
1. $g： D \to C$是f的一個 right inverse，$\iff f \circ g = 1_D$.
2. $g： D \to C$是f的一個 left inverse，$\iff f \circ g = 1_C$.
3. $g： D \to C$是f的一個逆，如果g是f的左逆和右逆.

right 和 left只是一個記號，沒有方向性的含義。
可以這樣想象：$C \to D$
C在左邊，D在右邊。
右逆：是從D出發，逆回到D，$f \circ g = 1_D$；
左逆：是從C出發，逆回到C，$g \circ f = 1_C$;

定理：如果一個箭頭有左逆和右逆，那麼左逆和右逆是同一個，也是原箭頭的逆。
$r = 1_C \circ r = (s \circ f) \circ r = s \circ (f \circ r) = s \circ 1_D = s$
定理：
1. 通常，不是每一個單態射都是右逆；（可能存在元素$c | c \in C$在D中沒有對應的元素。）
2. 同樣，不是每一個滿態射都是左逆。（可能存在元素$d_1, d_2 | d_1, d_2 \in D$同時指向$c | c \in C$。）
3. 但是，每一個右逆都是單態射，每一個左逆都是滿態射。
定理：
在Set中，每一個單態射是一個右逆，除了$\emptyset \to D$。
同理，在Set中，推論“每一個滿態射是一個左逆”是一個選擇公理(Axiom of Choice)的一個版本。
定義：section and retraction
如果$g \circ f = 1_C$，f也稱爲是g的一個部分態射(section)；g稱爲是f的一個撤回態射(retraction)。
定義：split monomorphism and split spimonomorphism
如果f有一個左逆，那麼f是一個拆分單態射；
如果g有一個右逆，那麼g是一個拆分滿態射。

同構(Isomorphisms)

同構(isomorphism)
在範疇裏的一個同構是一個有逆箭頭。一般用$\sim \over \longrightarrow$。
定理
1. 單位箭頭是同構。
2. 一個同構$f: C \sim \over \longrightarrow D$，有一個唯一的逆，記爲$f^{-1} : D \sim \over \longrightarrow C$，存在以下性質：
- $f^{-1} \circ f = 1_C$
- $f \circ f^{-1} = 1_D$
- (f^{-1})^{-1} = f
- f^{-1}是一個同構
1. 如果f和g是同構，那麼如果$g \circ f$如果存在，也是一個同構。它的逆是$f^{-1} \circ g^{-1}$。
  比如：雙射是一個同構。
定理
如果f同時是單態射(monic)和拆分滿態射(split epic)(或者同時是滿態射(epic)和拆分單態射)，那麼f是一個同構。
定理 15
如果f和g是具有相同目標對象的單態射箭頭。並且存在i,j，有$f = g \circ i, g = f \circ j$，那麼因子i和j是同構態射，並且互爲逆。
定義: 平衡的(balanced)
範疇$\mathcal{C}$是平衡的，當且僅當每一個箭頭都是一個同構。

同構的對象(Isomorphic objects)

定義: 同構的對象(Isomorphic objects)
在範疇$\mathcal{C}$中，一個同構$f : C \sim \over \longrightarrow D$，那麼對象$C, D$稱爲在範疇$\mathcal{C}$中被同構化，記做$fC \sim \over \longrightarrow D$。
定理 16
在範疇$\mathcal{C}$中，一個對象之間的同構是一個等價關係。
定理 17
在範疇$\mathcal{C}$中，如果$f : C \sim \over \longrightarrow D$，那麼對於所有的對象$X \in \matchcal{C}$，在箭頭$C \to X$和箭頭$C \to \Y$之間有一對一的對應。同樣，存在一對一的對應在箭頭$X \to C$和箭頭$Y \to C$之間。

6 起點和終點對象(Initial and terminal objects)

定義: 起點對象(initial object)
在範疇$\mathcal{C}$中，對象$I$是起點對象，如果，對於每一個範疇中的對象X，都有一個唯一的箭頭$! : I \to X$，可以記做$!_x$。
定義: 終點對象(terminal object)
在範疇$\mathcal{C}$中，對象$T$是終點對象，如果，對於每一個範疇中的對象X，都有一個唯一的箭頭$! : X \to T$，可以記做$!_x$。
定義: 空對象(null object)
在範疇$\mathcal{C}$中的空對象$O$，如果，對於$O$即是起點對象也是終點對象。

從唯一性到唯一性同構(Uniqueness up to unique isomorphism)

定理：起點對象之間是“從唯一性到唯一性同構”。
在範疇$\mathcal{C}$中，$I, J$是起點對象，則存在一個唯一的同構$f : I \sim \over \longrightarrow J$。
對終點對象，亦然。
如果$I$是一個起點對象，有$f : I \sim \over \longrightarrow J$，則$J$也是一個起點對象。
定義：將起點對象記爲$0$，將終點對象記爲$1$

元素和通用化的元素(Elements and generalized elements)

定義: 元素
在一個帶有終點對象$1$範疇$\mathcal{C}$中，對象X的一個元素(或者對象X的一個點)是一個箭頭$f: 1 \to X$。
定義: well-pointed
假設範疇$\mathcal{C}$有一個終點對象，並且假設範疇$\mathcal{C}$中的任意對象$X, Y$，平行箭頭$f, g : X \to Y$，$f = g$如果$f \circ x = g \circ x, \forall x : 1 \to X$，那麼範疇$\mathcal{C}$被稱爲(well-pointed)。
定理：拿出兩個終點對象$1$和$1'$，定義兩個不同類型的X的元素$f_1 : 1 \to X$和$f_2 : 1' \to X$。範疇$\mathcal{C}$對於第一個元素是well-pointed，當且僅當範疇$\mathcal{C}$對於第二個元素也是well-pointed。
定義：通用化的元素(generalized elements)
在範疇$\mathcal{C}$中，一個$X$對象的（shape S的）通用化元素(generalized element)是一個箭頭$e: S \to X$
定理：在範疇$\mathcal{C}$中，平行箭頭是相同的，當且僅當它們在所有的通用化元素上都是相同的。
定理：在範疇$\mathcal{C}$中，點元素$x: 1 \to X$都是單態射。

每一個生命都是神聖不可侵犯的。
每一個生命都只是一粒塵埃。
我們既可以尊重每個生命，又可以對其隨心所欲。就是這麼矛盾。

7 乘積(products)

結對模式

定義: pairing schema, pair-objects, pairing function, un-pairing (projection) function
假設X, Y, O是對象的集合（它們可以是相同的或者是不同的）。
有$pr: X, Y \to O$是一個二元函數(tow-place function)，
同時有$\pi_1 : O \to X$和$\pi_2 : O \to Y$是one-place function。
這樣$[O, pr, \pi_1, \pi_2]$形成一個對X、Y的結對模式，當且僅當滿足條件：
\[ a: \pi_1(pr(x, y)) = x \And \pi_2(pr(x, y)) = y, \forall x \in X, \forall y \in Y \\ b: pr(\pi_1(o), \pi_2(o)) = o, \forall o \in O \]
這樣，O被稱爲這個結對模式的結對對象(pair-objects)，
$pr$爲關聯的結對函數(pairing function)，
$\pi_1$和$\pi_2$是反結對函數(映射函數)(un-pairing or projection functions)。
定理:
如果$[O, pr, \pi_1, \pi_2]$是一個結對模式，那麼：
1. $pr$不同的輸入對生成不同的結對對象。
2. $pr, \pi_1, \pi_2$都是滿射。
定理：
如果$[O, pr, \pi_1, \pi_2]$和$[O, pr, \pi'_1, \pi'_2]$都是X和Y的結對模式，則$\pi_1 = \pi'_1, \pi_2 = \pi'_2$。
如果$[O, pr, \pi_1, \pi_2]$和$[O, pr', \pi_1, \pi_2]$都是X和Y的結對模式，則$\pr = \pr'$。
定理：
如果$[O, pr, \pi_1, \pi_2]$和$[O', pr', \pi'_1, \pi'_2]$都是X和Y的結對模式，則存在一個唯一的雙射(bijection)$f : O \to O'$，有$pr'(x, y) = f(pr(x, y)), \forall x \in X, \forall y \in Y$。
定理
假設X, Y, O是對象集合，和函數$\pi_1 : O \to X, \pi_2 : O \to Y$，如果有一個唯一的two-place 函數$pr: X, Y \to O$，滿足條件(a):
\[ a: \pi_1(pr(x, y)) = x \And \pi_2(pr(x, y)) = y, \forall x \in X, \forall y \in Y \]
則，$[O, pr, \pi_1, \pi_2]$滿足條件(b)，從而形成一個結對模式。
定義: 乘積
如果X, Y是集合，那麼$[O, \pi_1, \pi_2]$形成一個X和Y的乘積，
這裏面:
O是一個集合，
$\pi_1 : O \to X$是一個函數，
$\pi_2 : O \to Y$是一個函數，
有一個唯一的two-place函數：$pr : X, Y \to O$，有$\pi_1(pr(x, y)) = x \And \pi_2(pr(x, y)) = y, \forall x \in X, \forall y \in Y$。

二元乘積

定義：二元乘積(binary product)
在任何一個範疇中，一個對於X和Y的二元乘積$[O, \pi_1, \pi_2]$是一個對象O和映射箭頭$\pi_1 : O \to X, \pi_2 : O \to Y$的組合。
這樣對於任何對象$S$和箭頭$f_1 : S \to X, f_2 : S \to Y$，總有一個協調箭頭(mediating arrow)$u : S \to O$形成一個交換圖。
定義：楔子(wedge)
對於 X 和 Y 的一個楔子是一個對象S和一對兒箭頭$f_1 : S \to X, f_2 : S \to Y$。
一個楔子$[O, \pi_1, \pi_2]$是X和Y的乘積，當且僅當，對於X和Y的任何其它楔子$[S, f_1, f_2]$，存在一個唯一的態射$u : S \to O$形成一個交換圖。
定義：衍生楔子範疇(derived wedge category)
給定一個範疇$\mathcal{C}, X, Y \in Ob(\mathcal{C})$，衍生楔子範疇(derived wedge category)$\mathcal{C}_{W(XY)}$是：
對象數據是X和Y的所有楔子$[O, f_1, f_2]$；
$[O, f_1, f_2]$和$[O', f'_1, f'_2]$的箭頭是範疇$\mathcal{C}的箭頭$g : O \to O'$；
$[O, f_1, f_2]$單位箭頭是$1_O$；
箭頭組合相同於範疇$\mathcal{C}$的箭頭組合。
定義：在$\mathcal{C}$中，一個X和Y的乘積是衍生範疇$\mathcal{C}_{W(XY)}$一個終點對象。

唯一同構

範疇$\mathcal{C}$中，對於任意的對象X和Y，乘積不一定存在；如果存在，也不一定唯一。

定義：Uniqueness up to unique isomorphism
如果$[O, \pi_1, \pi_2]$和$[O', \pi_1', \pi_2']$是對象X和Y的乘積，
那麼存在一個唯一的同構$f: O \sim \over \longrightarrow O'$聯繫與影射箭頭(有：$\pi_1' \circ f = \pi_1, \pi_2' \circ f = \pi_2$)。

協乘積(co-product)

定義：範疇化定義楔子的對偶(the duals)通常被稱爲協楔子。這樣一個範疇C的協楔子是協範疇$C^{op}$的一個楔子。
定義：協乘積(co-product)
範疇$\mathcal{C}$中，對於任意的對象X和Y，一個二元協乘積$[O, l_1, l_2]$是：
一個對象O，
兩個影射箭頭：$l1: X \to O, l2: Y \to O$。
這樣，對於任何S和箭頭$f_1: X \to S, f_2 : Y \to S$，有一個唯一的協調箭頭：$v : O \to S$形成一個交換圖。
協乘積記爲： $X \oplus Y$

8 探索乘積

定理：在有一個終點對象的範疇中
1. 存在乘積$1 \times X$和$X \times 1$，並且有$1 \times X \simeq X \simeq X \times 1$。
2. $X \times Y \simeq Y \times X$
3. $X \times ( Y \times Z ) \simeq ( X \times Y ) \times Z$
定理：有這樣的範疇，其中總是存在乘積$0 \times X$或者$X \times 0$，但是這個乘積通常不同構與0。
定理
如果$1 \overset{!_{1 \times X}}{\longleftarrow} 1 \times X \overset{i}{\longrightarrow} X$是一個乘積
則：$i$是一個同構。
定義：調解箭頭(mediating arrow)的一種表示
假設$[O, \pi_1, \pi_2]$是一個對象X和Y的二元乘積，假設有一個楔子$X \overset{f_1}{\Longleftarrow} S \overset{f_2}{\longrightarrow} Y$，
通過一個調解箭頭$u : S \to O$，形成一個交換圖。
這個調解箭頭$u : S \to O$科表示爲$<f_1, f_2>$。
定理：
$<f_1, f_2> = <g_1, g_2> \implies f_1 = g_1, f_2 = g_2$。
定理
對於乘積$[X \times Y, \pi_1, \pi_2]$和箭頭$u: S \to X \times Y, v: S \to X \times Y$，
如果有$\pi_1 \circ u = \pi_1 \circ v, \pi_2 \circ u = \pi_2 \circ v \implies u = v$。
定義：對角態射(diagonal morphism)
對於乘積$[X \times X, \pi_1, \pi_2]$和箭頭$\pi_1: X \times X \to X, \pi_2: X \times X \to X$，
楔子$X \overset{1_X}{\Longleftarrow} X \overset{1_X}{\longrightarrow} X$，
它們對應的調解箭頭$<1_X, 1_X>$爲對角態射，記做$\delta_x$。
定理：
$q: S \to X \implies \delta_x \circ q = <q, q>$。
定理：
$<f, g> \circ e = <f \circ e, g \circ e>$
定理：
給定平行箭頭$f_1: S \to X, f_2 : S \to X, f_1 \neq f_2$，那麼至少有4個箭頭$S \to X \times X$。

兩個乘積之間的匹配

定義：兩個乘積之間的匹配: $f \times g$

\[ f : X \to X' \\ g : Y \to Y' \\ [X \times Y, \pi_1, pi_2] \\ [X' \times Y', \pi'_1, \pi'_2] \\ f \times g : X \times Y \to X' \times Y' \\ \pi'_1 \circ f \times g = f \circ \pi_1 \\ \pi'_2 \circ f \times g = g \circ \pi_2 \]

定理：
假設$f: X \to X, g: Y \to Y, o: X \times Y \to Y \times X \{ (x, y) \to (y, x)\}$，
得出：$(f \times g) \cirs o = (g \times f) \circ o$。
定理：
存在雙箭頭$f, g: X \to Y$，和乘積$X \times X, Y \times Y$，
則：楔子 $<f, g> = （f \times g） \circ \theta_x$。
定理 37
有平行箭頭$f: X \to X', j: X' \to X", g: Y \to Y', k: Y' \to Y"$，
和乘積$[X \times Y, \pi_1, \pi_2], [X' \times Y', \pi'_1, \pi'_2], [X" \times Y", \pi"_1, \pi"_2]$，
則：$(j \times k) \circ (f \times g) = (j \circ f) \times (k \circ g)$。

有限元乘積

定義 44：有限元乘積
對於$X_1, \cdots, X_n$的乘積$O, \pi_1, \cdots, \pi_n$，
對於任意的S和箭頭$f_i : S \to X_i$，存在一個唯一的協調箭頭$u: S \to O$，$f_i = \pi_i \circ u$
定理 38
在一個範疇裏，對於$X_1, X_2, X_3$,如果有三元乘積$[O, \pi_1, \pi_2, \pi_3]$和$O, \pi'_1, \pi'_2, \pi'_3$，
那麼存在一個唯一的同構$u: O \simeq O'$
定理 39
$(X_1 \times X_2) \times X_3$形成一個$X_1, X_2, X_3$的三元乘積。
定義 45：
範疇$\mathcal{C}$有所有的二元乘積，$\iff$ 對於任意的兩個對象，這個範疇都有乘積。
範疇$\mathcal{C}$有所有的有限元乘積，$\iff$ 對於任意的n個對象，這個範疇都有n元乘積，$n \geqslant 0$。
定理 40
範疇$\mathcal{C}$有所有的有限元乘積，$\iff$ 這個範疇有一個終點對象，並且有所有的二元乘積。

無限乘積

定義 46：無限乘積(infinite products)
假設範疇$\mathcal{C}$中，對象$X_j$可以在一套索引$J$中通過j索引，$J$是一個無限的。
如果，對於每個$X_j$的乘積$O$，有$\pi_j : O \to X_j$，
同時需要對於任意的對象$S$和箭頭族$f_j ： S \to X_j$，有$u : S \to O, \And f_j = \pi_j \circ u, \forall j$。
定義 47：
範疇$\mathcal{C}$有所有的乘積，$\iff$ 對於任意的對象$X_j | j \in J$，這個範疇都有乘積，記做$\prod_{j \in J}{X_j}$。

均衡器(Equalizers)

定義 48: 叉子(fork)
一個叉子(從S通過X到Y)，包含箭頭$k: S \to X, f: X \to Y, g: X \to Y, f \circ k = g \circ k$，是一個交換圖。
定義 49 均衡器(Equalizer)
在一個範疇中，有平行箭頭$f, g : X \to Y$，一個均衡器：$E, e: E \to X$，需要滿足以下條件：
1. $f \circ e = g \cire e$，也就是說E,X,Y形成一個叉子。
2. 任意的其它叉子$S, X, Y, s: S \to X$，存在一個唯一的協調箭頭(mediating arrow)$u: S \to E$。

均衡器是一個約束(limiting case)

定義 50：叉子範疇
在範疇$\mathcal{C}$中，$f,g：X \to Y$形成的叉子$k: S \to X; g, f: X \to Y$，
可以得到一個衍生叉子範疇$\mathcal{C_{F(fg)}}$，如下：
對象：每個$S \to X; g, f: X \to Y$爲一個對象；
箭頭：$u: (S \to \cdots) \to (S' \to \cdots)$是範疇$\mathcal{C}$中的$u : S \to S'$；
顯而易見有交換圖：$k = k' \circ u$；
單位箭頭：$1_{(S \to \cdots)} = 1_S$；
結合律：就是範疇$\mathcal{C}$中的結合律。
定義 51：叉子範疇的終點對象
在一個範疇中，平行箭頭$f, g : X \to Y$的均衡器：$E, e: E \to X$，其對應在衍生叉子範疇的對象是一個終點對象。

唯一性

定理 41：均衡器之間存在唯一的同構
在範疇$\mathcal{C}$中，$f,g：X \to Y$的均衡器$[E, e], [E', e']$存在唯一的同構：$j: E \to E'$，
形成交換圖：$e = e' \circ j$。
定理 42：
如果$[E, e]$構成一個均衡器，那麼$e$是一個單態射(monomorphism).
定理 43：
一個滿態射的均衡器是一個同構態射。

協均衡器(co-equalizers)

定義 52: 協叉子(co-fork)
一個協叉子(從X通過Y到S)，包含箭頭$f, g: X \to Y; k: S \to X,; \And k \circ f = k \circ g$。
定義 53 協均衡器(Co-Equalizer)
在一個範疇中，有平行箭頭$f, g : X \to Y$，一個協均衡器：$C, c: Y \to C$，需要滿足以下條件：
1. $c \circ f = c \cire g$，也就是說C,X,Y形成一個協叉子。
2. 任意的其它協叉子$S, X, Y, s: Y \to S$，存在一個唯一的協調箭頭(mediating arrow)$u: C \to S$。
定義 R
對於平行箭頭$f,g: X \to Y$，可以引出一個對於對象Y的元素之間的關係R(或者記做$R_{fg}$)。
$yRy'$意味着$f(x) = y \And g(x）= y', \exists x \in X$。
在一個協叉子中，意味着$yR_{fg}y'\implies k(y) = k(y')$，有記做$y \equiv_k y'$。
定義 R 的最小等價關係(the smallest equivalence relation R) $R~$
$R^~$需要包括一個箭頭$c: Y \to C, c(y) = c(y') \iff yRy'$，或者說$\equiv_c = R~$。
定理 44
$C = Y/R~; c: Y \to C$，c 映射 y 到包含 y 的C元素上。$[C, c]$構成一個$f, g$的協均衡器。
舉例：
$Y = [a, a', b, b', d, d'], aRa', bRb', dRd'$
$C = Y/R~ = [[a, a'], [b, b'], [d, d']]$
$c(a) = [a, a']$

10 限制和協限制(limits and co-limits defined)

錐(cone)

定義圖表(diagram)
一個基於範疇中的diagram，是一些（或者沒有）對象$D_j$，這些對象可以按照索引$J$通過序號$j$來定位，和一些(或者沒有)$D_j$之間的箭頭。
定義 54 圖表的錐(cone)
對於一個圖表D的錐(cone over a diagram)，其構成爲$[C, c_j: C \to D_j] | j \in J]$，
並且對於圖表中的任意箭頭$d: D_i \to D_j$，有交換關係$c_j = d \circ c_i$。
定義 55 圖表的閉包(closure)
對於一個圖表D的閉包(closure)是一個最小的圖表，幷包含：
1. D的所有對象和箭頭
2. D所有對象的單位箭頭
3. 如果有兩個箭頭的可組合的(compos-able)，那麼要包含它們的組合箭頭。
定理 45
一個閉包是一個子範疇。
定理 46
如果，$[C, c_j]$是圖表D的錐，則也是圖表D的閉包的錐。

極限錐(limit cone)

定義 56 圖表的極限錐(limit cone)
圖表D的極限錐(limit cone)$[L, \lambda_j]$的滿足條件：
對於圖表 D 的任意一個錐C，都存在一個唯一的協調箭頭$k: C \to L, \lambda_j \circ k = c_j | \forall j \in J$。
定理 47
一個給定圖表的所有極限錐之間，一對一之間都存在唯一的同構，這個同構與錐箭頭之間形成了交換。
定義 56 派生範疇：圖表的錐範疇
一個範疇$\mathcal{C}$中，對於圖表D，可以派生含有圖表D上所有錐的範疇，記做$\mathcal{C}_{C(D)}$:
1. 對象：所有錐$[C, c]$
2. 箭頭：任意C之間的箭頭$k: C \to C'$，並滿足$c'_j \circ k = c_j, j \in J$
3. 單位對象：$1_C$
4. 組合關係：箭頭的原組合關係。
定理 58
一個範疇$\mathcal{C}$中，圖表D的極限錐是圖表的錐範疇$\mathcal{C}_{C(D)}$的終點對象。
定理 48
一個範疇$\mathcal{C}$中，$[L, \lambda]$是圖表D的極限錐，
$[L', \lambda']$是圖表D的錐，並且通過$f: L' \to L$構成一個同構，
則：$[L', \lambda']$是圖表D的極限錐。
定理 49 TBD
定理 50
一個範疇$\mathcal{C}$有一個起點對象，當且僅當範疇$\mathcal{C}$作爲一個圖表有一個極限錐。
定義 59 極限對象
對於一個圖表D的一個極限錐，我們將位於這個極限錐的頂點的極限對象，自作$\lim_{\rightarrow j} D_j$。

協極限(colimits)

定義 60: 協錐(co-cone)
一個圖表 D 的協錐C，有：
1. $c_j: D_j \to C, j \in J$
2. $c_k = c_l \circ d, \forall d: D_k \to D_l$

撤回(Pullbacks)

定義 61：撤回，撤回正方形(pullback square)
對於一個角圖(corner diagram)的一個極限(limit)$[L, \lambda_1: L \to D_1, \lambda_2: L \to D_2]$是一個撤回。
一個角圖和極限組成一個撤回正方形(pullback square)。
corner diagram: $D_1, D_2, D_3, d: D_1 \to D_3, e: D_2 \to D_3$。
定理 51
撤回一個單態射，產生一個單態射。
定理 52
$f: X \to Y$是一個單態射，當且僅當下面是一個撤回正方形：
$1_X: X \to X, f: X \to Y$
$1_X: X \to X, f: X \to Y$
定理 53
一個頂點爲Z的角的撤回是商範疇$\mathcal{C}/Z$的一個乘積。

推出(pushout)

定義 62：一個楔子圖的極限是一個推出(pushout)。

11 極限的存在性

定義 63：一個包含所有有限極限的範疇，被稱爲有限地完整。
有限極限: 對於有限圖D（任意圖包含D，並擁有有限的索引J）。

12 子對象(sub-object)

13 指數(Exponential)

14 組對象，自然數對象

15 函子(Functor)

16 範疇的範疇(Categories of categories)

17 函子和極限(functors and limits)

18 同態函子(Hom-functors)

19 函子和逗號範疇

20 自然的同構(Natural isomorphisms)

21 自然的變形(Natural transformations)

22 函子範疇(Functor categories)

23 範疇的等價性(Equivalent categories)

24 Yoneda植入(The Yoneda embedding)

25 Yoneda推論(The Yoneda Lemma)

26 可表達和統一元素(Representables and universal elements)

27 Galois連接(Galois connections)

28 伴隨的介紹(Adjoints introduced)

定義 125 伴隨(adjoint)
範疇$\mathcal{A}, \mathcal{B}$，和函子$F: \mathcal{B} \to B, G: \mathcal{B} \to \mathcal{A}$。
則$F$是$G$的左伴隨，則$G$是$F$的右伴隨，記做：$F \dashv G$。
前提條件: $\mathcal{B}(F(A), B) \simeq \mathcal{A}(A, G(B))$。

29 伴隨的更多探索(Adjoints further explored)

30 伴隨函子和極限(Adjoints functors and limits)

附

符號

Isomorphism: $\simeq$
iff: $\iff$

各種理解

結合律的理解
結合律意味着可以在任何一個計算點開始計算。
如何證明單射(injective)
通過假設兩個元素e, e'的射結果相同，既$f(e) = f(e')$，如果可以推導出$e = e'$，則$f$是一個單射。
如何證明滿射(surjective)
對於任何$b \in B$，$f(a) = b, \exists a \in A$。
如何證明同構$\simeq$(isomorphism)
對於任何$b \in B$，存在$f(a) = b, a \in A$。
交換圖
各種表達：commuting with arrows, form a diagram commuting, triangle commutes, etc.
其中的含義是：從對象 A 到對象B存在兩個相等的路徑。
協調箭頭(mediate arrows)
一種常見的交換圖形式。總是以這樣的形式出現：
有一組源對象和一個目標對象，存在：$[S_j, s_j: S \to T], j \in J$，
有一個對象$[M, m: M \to T]$，對於每個源對象，存在唯一的：
$k: S_j \to M; \And m \circ k = s_j$。
$k$就是協調箭頭。
這裏，似乎說明了$[M, m]$有一種特性，存在一個等價的交換路徑。

馮諾依曼(Von Neumann)的自然數定義

\[ 0 = \emptyset \\ 1 = \{ \emptyset \} \\ 2 = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\ 3 = \{ \emptyset, \{ \emptyset \}, \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \} \\ \cdots \\ n + 1 = n \cup \{ n \} \]

參照

Category Theory A Gentle Introduction by Peter Smith (University of Cambridge)
Wikipedia