使用python計算最大回撤

使用python計算最大回撤

1. 單期簡單收益率

$R_{t}=\dfrac {P _{t}-P_{t-1}}{P_{t-1}}$
說明：

1. $R_t$ 爲單期簡單收益率
2. $P_t$ 爲t期的價格
3. $P_{t-1}$ 爲t-1期的價格

import datetime
import pandas as pd
pd.core.common.is_list_like = pd.api.types.is_list_like

price = pd.Series([3.42,3.51,3.68,3.43,3.56,3.67], index=[datetime.date(2015,7,x) for x in range(3,9)])
price

2015-07-03    3.42
2015-07-04    3.51
2015-07-05    3.68
2015-07-06    3.43
2015-07-07    3.56
2015-07-08    3.67
dtype: float64

利用ffn庫計算單期簡單收益

import ffn

r = ffn.to_returns(price)
r

2015-07-03         NaN
2015-07-04    0.026316
2015-07-05    0.048433
2015-07-06   -0.067935
2015-07-07    0.037901
2015-07-08    0.030899
dtype: float64

2. 最大回撤

最大回撤(Maximum Drawdown, MDD) 用來衡量投資（特別是基金）的表現，

2.1 回撤：某資產在時刻T的回撤是指資產在(0,T)的最高峯值與現在價值$P_T$之間的回落值，用數學公式表達爲：

$D\left( T\right) =\max \left\{ 0,\max _{t\in (0,T)}P_t-P_{T}\right\}$

2.2 對應的回撤率爲：

$d\left(T\right) = \dfrac {D\left( T\right) }{\max _{t\in \left( 0,T\right) }p_{t}}$

知道回撤的含義之後，最大回撤就比較容易理解了，資產在T時刻的最大回撤MDD(T),就是資產在時段(0,T)內回撤的最大值，對應的數學公式爲：

$MDD\left(T\right) = {\max _{\tau \in \left(0,T\right)}} D\left(\tau\right) = {\max _{\tau \in \left(0,T\right)}} \begin{aligned} \left[ \max _{t\in \left( 0,\tau \right) }P_{t}-P_{\tau}\right] \end{aligned}$

相應的最大回撤率爲：
$mdd\left(T\right) = {\max _{\tau \in \left(0,T\right)}} d\left(\tau \right) \dfrac {MDD\left(T\right)}{\max _{t \in \left(0,T\right)}P_t}$

直觀的講，MDD(T)對應的是在(0,T)時段內資產價值從最高峯迴落到最低谷的幅度。最大回撤常用來描述投資者在持有資產是可能面臨的最大虧損。

2.3 利用收益率計算最大回撤

如果某資產的收益率序列爲R₁,R₂,…,R_T,在初始時刻0時，我們投資1元在該資產上並一直持有到T時刻，則初始值爲1元的資產價值就會隨時間變化爲：（1+R₁）,（1+R₁）（1+R₂）,（1+R₁）（1+R₂）（1+R₃）,…,$\prod _{k=1}^{T}\left( 1+R_{k}\right)$

時刻T對應的回撤值爲：
$D(T) = \max \left\{ 0, \max _{t \in (0,T)} \prod _{k=1}^{t}\left( 1+R_{k}\right) - \prod _{k=1}^{T}\left( 1+R_{k}\right) \right\}$

相應的回撤率爲：
$d(T) = \dfrac {D\left( T\right) }{\max _{t\in \left( 0,T\right) }\prod _{k=1}^{t}\left( 1+R_{k}\right) }$

最大回撤爲：
$MDD(T) = \max _{\tau \in \left( 0,T\right) }D\left( \tau \right) = \max _{\tau \in \left( 0,T\right) } \begin{aligned} \left[\max _{t\in \left( 0,\tau \right) }\prod _{k=1}^{t}\left( 1+R_{k}\right) - \prod _{k=1}^{\tau}\left( 1+R_{k}\right) \right]\end{aligned}$

相應的最大回撤率爲：
$mdd(T) = \max _{\tau \in \left( 0,T\right) }d(\tau) = \dfrac {MDD(T)}{\max _{t \in \left( 0,T\right) }\prod _{k=1}^{t}\left( 1+R_{k}\right)}$

value = (1 + r).cumprod()
value

2015-07-03         NaN
2015-07-04    1.026316
2015-07-05    1.076023
2015-07-06    1.002924
2015-07-07    1.040936
2015-07-08    1.073099
dtype: float64

D = value.cummax() - value
D

2015-07-03         NaN
2015-07-04    0.000000
2015-07-05    0.000000
2015-07-06    0.073099
2015-07-07    0.035088
2015-07-08    0.002924
dtype: float64

d = D / (D + value)
d

2015-07-03         NaN
2015-07-04    0.000000
2015-07-05    0.000000
2015-07-06    0.067935
2015-07-07    0.032609
2015-07-08    0.002717
dtype: float64

MDD = D.max()
MDD

0.07309941520467844

mdd =d.max()
mdd
# 對應的最大回撤率值爲

0.06793478260869572

# 採用ffn庫計算收益率累積最大回撤
ffn.calc_max_drawdown(value)

-0.06793478260869568

from empyrical import max_drawdown

# 使用 empyrical 計算收益率序列最大回撤
max_drawdown(r)

-0.06793478260869572