典型分形模型(Dragon 曲線)

- Dragon 曲線的生成規則

變化的起始是一條原始直線段。第一步是將該直線段由中間點隆起，使其變成一個等腰直角三角形的兩腰。接下去再分別對兩腰作和前面同樣的變化，如此不斷進行。

• 不難看出，Dragon 曲線完全是由長度相等的線段組成，且兩兩相交處都成直角。另外，每次分形後，曲線的長度是原來曲線長度的 根號2倍。因此，經過無數次變化，Dragon 曲線也將變成無限長。這一點正符合分形曲線的特點。

  下面我們來分析 Dragon 曲線的生成規則：
  假如我們從線段 1 開始，順着曲線前進，那麼在這個過程中，每到一個線段末端拐角處，就必須向左或向右轉90º 。於是，待要解決的關鍵問題就是如何確定是向左轉還是向右轉。
  

  
  如果用代碼 1 表示向左轉90º ，用 3 表示向右轉90º 。並且對於第 i 段線段，以T ( i )來表示其轉向代碼。
  則 對於上圖有：
  T ( 1 )=1 　　　 T ( 5 )=1
  　T ( 2 )=1　　　 T ( 6 )=3
  　T ( 3 )=3 　　　 T ( 7 )=3
  　T ( 4 )=1　

因此，對於第 i 段線段末了的轉角:A ( i )=T ( i )*90º 。
　因爲向右轉90º 就等於向左轉270º 。對於 i 的任意整數值，其T ( i )的
　值可由下式確定：
T ( i )=T ( i / 2 ) ; 對於 i 是偶數
　T ( i )=T ( i % 4 ) ; 對於 i 是奇數

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- 生成 Dragon 曲線的程序

Dragon 曲線可以用分步判別繪線的方法繪製出來。其主要的程序段如下：
　

for ( i=1; i<=n; i++)
　{
　　j = i ;
　　while(( j&1 )==0)   j>>1 ;
　　j=j % 4 ;
　　a=(a+j) % 4 ;
　　x1= x1+d*cos( a*PI ) ; 
　　y1= y1- d*sin( a*PI ) ;
　　x=(int)(x1+0.5) ; y=(int)(y1+0.5) ;
　　lineto( x , y ) ;
　}　

同樣，Dragon曲線也是不自相交的，但是在圖形上它沒有如 Koch 曲線那樣可明顯看出。但只要把曲線中 90º的拐角改畫一個小的倒角，情況就清楚了。

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- 其他分形實例

用 分形 可以構造很多自然界的形體，下面是幾種常見的例子：
（１）分枝
　 Koch 曲線和Dragon曲線都是連續的，
　分枝結構是不連續的，它的生成元類
　似於圖:

其生成元描述爲：
　　　F : F [ L F ] F [ R F ] F
　
（２）粒子模型
（３）岩石
這種分形由平面多邊形（如三角形、四邊形等）用隨機插值法迭代生成，可模擬山巒。

以四邊形爲例：分割原始四邊形爲四個小四邊形，此時要求出每條邊上的中點和四邊形的中點共 5 個點。設每條邊的兩端點爲P0i (i=1,2)，中點爲Pu,四邊形的中點爲Pv。
則可給出計算方法爲：

　式中：n 爲遞歸深度。
t 爲變位係數。
　　　 r 爲呈正態分佈的隨機數。
　　　 Pui 爲前四條邊的中點。

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