典型分形模型(Koch 曲线)

- 分形的四种构成方法

（１）基于Ｌ系统的分形模型
（２）迭代函数系统模型
（３）粒子系统模型
（４）随机插值模型

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- Koch 曲线

( 1 ) Koch 曲线的生成规则
　Koch 曲线是 Von Koch 于1904年第一次描述的。它的构造是：迭代初始把原线段去掉中间的三分之一，代之以底边在被去线段上的等边三角形的两腰；以后每一步的迭代都是这样的重复。

从以上过程可以清楚地看出，Koch曲线（其它分形集也是如此）可以由简单的图，称为 生成元 ，迭代产生。
在这里，Koch曲线的生成元是：

在这里，假如我们约定好记号，就可以把Koch曲线的生成元的构造用一个字符串符号表示出来。设：

曲线由把每一折线段反复迭代成缩小比例的三分之一的生成元而成。即字符串T＝ F L F R R F L F 中的每一个F 又是字符串 T 本身。而每次迭代
后，生成的曲线长是原来曲线长的三分之四倍。可见，无数次迭代后Koch 曲线将变得具有无限长度。并且，Koch 曲线是永远不自相交的。

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( 2 )　生成Koch 曲线的程序
函数 side( )，用于绘制Koch 曲线的生成元，函数中所用的参数为：
　

xa, ya, xb, yb :线段的起点和终点座标；
　a : 线段的方向角；
　n : 迭代次数（递归深度）。
　

void  side ( xa, ya, xb, yb, a, n )
    int n ; float xa, ya, xb, yb, a ;
   { float x1, y1, x2, y2, x3, y3, dl, a1, a2 ;
      int xs, ys, xe, ye ;
      if (n==0)
     { 
        xs=(int)(xa+0.5) ; ys=(int)(ya+0.5) ; 
        xe=(int)(xb+0.5) ; ye=(int)(yb+0.5) ;
       moveto(xs,480-ys) ; lineto(xe,480-ye);
       }
       else
       { 
　 dl=sqrt((xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)) / 3. ;
      x1=xa+(xb-xa) / 3. ; y1=ya+(yb-ya) / 3. ;
      side(xa, ya, x1, y1, a, n-1) ;
      a1=a+AF ;
      x2=x1+dl*cos(a1) ;
      y2=y1+dl*sin(a1) ;
      side(x1, y1, x2, y2, a1, n-1) ;
　a2=a1-2.*AF ;
       x3=x2+dl*cos(a2) ;
       y3=y2+dl*sin(a2) ;
       side(x2, y2, x3, y3, a2, n-1) ;
       side(x3, y3, xb, yb, a, n-1) ;      　　 
       }　 } 

( 3 )　Koch 曲线的维数
一个几何对象的维数还可以从测量的角度来定义：
　　Ｄ＝ln(N) / ln(S)
　其中：Ｄ　维数
　　　　Ｓ　缩小系数的倒数
　　　　Ｎ　每步的分段数

在Koch曲线中，S＝3 ( 缩小系数是
　1/3 )；Ｎ＝4。
　所以Koch曲线的维数为：
　Ｄ＝ln(4) / ln(3)

依据 Koch 曲线的生成原理，设计不
　同的生成元，便可以构画出多种多样
　的分形曲线。

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