分类评分函数 score function

从图像到标签分值的映射

一个线性映射：

$\displaystyle f(x_i,W,b)=Wx_i+b$

其中，参数 $W$ 为权重（weights），$b$ 称为偏差向量（bias vector）

一个将图像映射到分类分值的例子：

• 为了便于可视化，假设图像只有4个像素值，有3个分类。

• 首先将图像像素拉伸为一个列向量，与 $W$ 进行矩阵乘，再加上偏置项 $b$，得到各个分类的分值。

• 需要注意的是，由于权值没有训练到位，猫分类的分值非常低。

多类 SVM 分类器

针对第 $i$ 个数据的 $j$ 类 SVM 的损失函数定义如下：

$\displaystyle L_i=\sum_{j\not=y_i}max(0,s_j-s_{y_i}+\Delta)$

使用多类 SVM 分类时，正确分类的分数需要比其他不正确的分类分数高出 边界值 delta（$\Delta$）。其他分类分数进入了红色的区域时，就开始计算损失。在红色区域之前，损失值为0。

SVM 评分函数中，将输出 $s_j=f(x_i,W)_j$ 作为第 $i$ 个数据针对第 $j$ 个类别的得分，所以分类损失的详细定义为：

$\displaystyle L_i=\sum_{j\not=y_i}max(0,w^T_jx_i-w^T_{y_i}x_i+\Delta)$

加上正则化项：

$L=\frac{1}{N}\sum_i\sum_{j\not=y_i}[max(0,f(x_i;W)_j-f(x_i;W)_{y_i}+\Delta)]+\lambda \sum_k \sum_l W^2_{k,l}$

其中：

• $max(0,-)$ 函数，它常被称为 折叶损失（hinge loss）。有时候会听到人们使用 平方折叶损失SVM（即 L2-SVM），它使用的是 $max(0,-)^2$，将更强烈（平方地而不是线性地）地惩罚过界的边界值。可以通过交叉验证来决定到底使用哪个。

• 在绝大多数情况下设置 $\Delta=1.0$ 都是安全的。超参数 $\Delta$ 和$\lambda$ 一起控制损失函数中的数据损失（data loss）和正则化损失（regularization loss）之间的权衡。

• 不同分类分值之间的边界的具体值（比如 $\Delta=1$ 或 $\Delta=100$）从某些角度来看是没意义的，因为权重自己就可以控制差异变大和缩小。也就是说，真正的权衡是我们允许权重能够变大到何种程度，通过正则化强度 $\lambda$ 来控制，详见：正则化方法 。

Softmax 分类器

Softmax 分类器可以理解为 逻辑回归分类器 面对多个分类的一般化归纳，输出归一化的分类概率。

在Softmax分类器中，函数映射 $f(x_i;W)=Wx_i$ 保持不变，但将这些评分值视为每个分类的未归一化的对数概率，并且将折叶损失（hinge loss）替换为交叉熵损失（cross-entropy loss）。公式如下：

$L_i=-log(\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_je^{f_j}})$

或等价的：

$L_i=-f_{y_i}+log(\sum_je^{f_j})$

其中：

• 使用 $f_j$ 来表示分类评分向量 $f$ 中的第 $j$ 个元素。

• 函数 $f_j(z)=\frac{e^{z_j}}{\sum_ke^{z_k}}$ 被称作 softmax 函数，其输入值是一个向量，向量中元素为任意实数的评分值（$z$ 中的），函数对其进行压缩，输出一个向量，其中每个元素值在 0 到 1 之间，且所有元素之和为 1。

对数的基本性质:

• 函数拆分：
  $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$
• log($x$) vs log($1/x$) :
  $log(x) = -log(1/x)$
  图中，蓝线为 ln($1/x$) ，黑线为 ln($x$)

数值归一化：

• 编程实现 softmax 函数计算的时候，中间项 $e^{f_{y_i}}$ 和 $\sum_j e^{f_j}$ 因为存在指数函数，所以数值可能非常大。

• 除以大数值可能导致数值计算的不稳定，所以使用归一化非常重要。如果在分式的分子和分母都乘以一个常数 $C$，并把它变换到求和之中，就能得到一个从数学上等价的公式：

$\frac{e^{f_{y_i}}}{\sum_je^{f_j}}=\frac{Ce^{f_{y_i}}}{C\sum_je^{f_j}}=\frac{e^{f_{y_i}+logC}}{\sum_je^{f_j+logC}}$

• 代码实现如下：

f = np.array([123, 456, 789]) # 例子中有3个分类，每个评分的数值都很大
p = np.exp(f) / np.sum(np.exp(f)) # 不妙：数值问题，可能导致数值爆炸

# 那么将f中的值平移到最大值为0：
f -= np.max(f) # f becomes [-666, -333, 0]
p = np.exp(f) / np.sum(np.exp(f)) # 现在OK了，将给出正确结果

SVM 和 Softmax的比较

损失函数的不同：

• SVM 分类器使用的是 折叶损失（hinge loss），有时候又被称为 最大边界损失（max-margin loss）。

• Softmax 分类器使用的是 交叉熵损失（corss-entropy loss）。

对分类分值的不同解释：

• 针对一个数据点，两个分类器都计算了同样的分值向量 $f$

• SVM分类器将 $f$ 看做是分类评分，它的损失函数鼓励正确的分类（本例中是蓝色的类别2）的分值比其他分类的分值高出至少一个边界值。

• Softmax分类器将 $f$ 看做是每个分类没有归一化的对数概率，鼓励正确分类的归一化的对数概率变高，其余的变低。

• SVM的最终的损失值是 1.58，Softmax 的最终的损失值是 0.452，但要注意这两个数值没有可比性。只在给定同样数据，在同样的分类器的损失值计算中，它们才有意义。

在实际使用中，SVM 和 Softmax 经常是相似的：

• 通常说来，两种分类器的表现差别很小。

• 相对于 Softmax 分类器，SVM 更加局部目标化（local objective），这既可以看做是一个特性，也可以看做是一个劣势。

• SVM 对于各个分类的得分细节并不关心：分数是 $[10, -100, -100]$ 或者 $[10, 9, 9]$，对于 SVM 来说没什么不同，只要分差超过边界值，那么损失值就等于 0，不会超过限制去细微地操作具体分数。

• 对于 softmax 分类器，情况则不同。对于 $[10, 9, 9]$ 来说，计算出的损失值就远远高于 $[10, -100, -100]$ 的。换句话来说，softmax 分类器对于分数是永远不会满意的。