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迪傑斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路徑算法，用於計算一個節點到其他節點的最短路徑。
它的主要特點是以起始點爲中心向外層層擴展(廣度優先搜索思想)，直到擴展到終點爲止。
基本思想
通過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，需要指定起點s(即從頂點s開始計算)。
此外，引進兩個集合S和U。S的作用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而U則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。
初始時，S中只有起點s；U中是除s之外的頂點，並且U中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。然後，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 然後，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重複該操作，直到遍歷完所有頂點。
操作步驟
(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其他頂點，且U中頂點的距離爲"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離爲(s,v)的長度，然後s和v不相鄰，則v的距離爲∞]。
(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。
(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之所以更新U中頂點的距離，是由於上一步中確定了k是求出最短路徑的頂點，從而可以利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。
(4) 重複步驟(2)和(3)，直到遍歷完所有頂點。
單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面通過實例來對該算法進行說明。
迪傑斯特拉算法圖解
以上圖G4爲例，來對迪傑斯特拉進行算法演示(以第4個頂點D爲起點)。
初始狀態：S是已計算出最短路徑的頂點集合，U是未計算除最短路徑的頂點的集合！
第1步：將頂點D加入到S中。
此時，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。 注:C(3)表示C到起點D的距離是3。
第2步：將頂點C加入到S中。
上一步操作之後，U中頂點C到起點D的距離最短；因此，將C加入到S中，同時更新U中頂點的距離。以頂點F爲例，之前F到D的距離爲∞；但是將C加入到S之後，F到D的距離爲9=(F,C)+(C,D)。
此時，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。
第3步：將頂點E加入到S中。
上一步操作之後，U中頂點E到起點D的距離最短；因此，將E加入到S中，同時更新U中頂點的距離。還是以頂點F爲例，之前F到D的距離爲9；但是將E加入到S之後，F到D的距離爲6=(F,E)+(E,D)。
此時，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。
第4步：將頂點F加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。
第5步：將頂點G加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。
第6步：將頂點B加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。
第7步：將頂點A加入到S中。
此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。
此時，起點D到各個頂點的最短距離就計算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。
迪傑斯特拉算法的代碼說明
以"鄰接矩陣"爲例對迪傑斯特拉算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。
1. 基本定義
public class MatrixUDG {
private int mEdgNum; // 邊的數量
private char[] mVexs; // 頂點集合
private int[][] mMatrix; // 鄰接矩陣
private static final int INF = Integer.MAX_VALUE; // 最大值
...
}
MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。mVexs用於保存頂點，mEdgNum用於保存邊數，mMatrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即mVexs[i])"和"頂點j(即mVexs[j])"是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。
2. 迪傑斯特拉算法
/*
* Dijkstra最短路徑。
* 即，統計圖中"頂點vs"到其它各個頂點的最短路徑。
*
* 參數說明：
* vs -- 起始頂點(start vertex)。即計算"頂點vs"到其它頂點的最短路徑。
* prev -- 前驅頂點數組。即，prev[i]的值是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑所經歷的全部頂點中，位於"頂點i"之前的那個頂點。
* dist -- 長度數組。即，dist[i]是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑的長度。
*/
public void dijkstra(int vs, int[] prev, int[] dist) {
// flag[i]=true表示"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑已成功獲取
boolean[] flag = new boolean[mVexs.length];
// 初始化
for (int i = 0; i < mVexs.length; i++) {
flag[i] = false; // 頂點i的最短路徑還沒獲取到。
prev[i] = 0; // 頂點i的前驅頂點爲0。
dist[i] = mMatrix[vs][i]; // 頂點i的最短路徑爲"頂點vs"到"頂點i"的權。
}
// 對"頂點vs"自身進行初始化
flag[vs] = true;
dist[vs] = 0;
// 遍歷mVexs.length-1次；每次找出一個頂點的最短路徑。
int k=0;
for (int i = 1; i < mVexs.length; i++) {
// 尋找當前最小的路徑；
// 即，在未獲取最短路徑的頂點中，找到離vs最近的頂點(k)。
int min = INF;
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
if (flag[j]==false && dist[j]<min) {
min = dist[j];
k = j;
}
}
// 標記"頂點k"爲已經獲取到最短路徑
flag[k] = true;
// 修正當前最短路徑和前驅頂點
// 即，當已經"頂點k的最短路徑"之後，更新"未獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點"。
for (int j = 0; j < mVexs.length; j++) {
int tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));
if (flag[j]==false && (tmp<dist[j]) ) {
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
}
// 打印dijkstra最短路徑的結果
System.out.printf("dijkstra(%c): \n", mVexs[vs]);
for (int i=0; i < mVexs.length; i++)
System.out.printf(" shortest(%c, %c)=%d\n", mVexs[vs], mVexs[i], dist[i]);
}
迪傑斯特拉算法的源碼
這裏分別給出"鄰接矩陣圖"和"鄰接表圖"的迪傑斯特拉算法源碼。