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去年年底寫的關於位運算的日誌是這個Blog裏少數大受歡迎的文章之一，很多人都希望我能不斷完善那篇文章。後來我看到了不少其它的資料，學習到了更多關於位運算的知識，有了重新整理位運算技巧的想法。從今天起我就開始寫這一系列位運算講解文章，與其說是原來那篇文章的follow-up，不如說是一個remake。當然首先我還是從最基礎的東西說起。
什麼是位運算？
程序中的所有數在計算機內存中都是以二進制的形式儲存的。位運算說穿了，就是直接對整數在內存中的二進制位進行操作。比如，and運算本來是一個邏輯運算符，但整數與整數之間也可以進行and運算。舉個例子，6的二進制是110，11的二進制是1011，那麼6 and 11的結果就是2，它是二進制對應位進行邏輯運算的結果（0表示False，1表示True，空位都當0處理）：
110
AND 1011
———-
0010 –> 2
由於位運算直接對內存數據進行操作，不需要轉成十進制，因此處理速度非常快。當然有人會說，這個快了有什麼用，計算6 and 11沒有什麼實際意義啊。這一系列的文章就將告訴你，位運算到底可以幹什麼，有些什麼經典應用，以及如何用位運算優化你的程序。
Pascal和C中的位運算符號
下面的a和b都是整數類型，則：
C語言 | Pascal語言
——-+————-
a & b | a and b
a | b | a or b
a ^ b | a xor b
~a | not a
a << b | a shl b
a >> b | a shr b
注意C中的邏輯運算和位運算符號是不同的。520|1314=1834，但520||1314=1，因爲邏輯運算時520和1314都相當於True。同樣的，!a和~a也是有區別的。
各種位運算的使用
=== 1. and運算 ===
and運算通常用於二進制取位操作，例如一個數 and 1的結果就是取二進制的最末位。這可以用來判斷一個整數的奇偶，二進制的最末位爲0表示該數爲偶數，最末位爲1表示該數爲奇數.
=== 2. or運算 ===
or運算通常用於二進制特定位上的無條件賦值，例如一個數or 1的結果就是把二進制最末位強行變成1。如果需要把二進制最末位變成0，對這個數or 1之後再減一就可以了，其實際意義就是把這個數強行變成最接近的偶數。
=== 3. xor運算 ===
xor運算通常用於對二進制的特定一位進行取反操作，因爲異或可以這樣定義：0和1異或0都不變，異或1則取反。
xor運算的逆運算是它本身，也就是說兩次異或同一個數最後結果不變，即(a xor b) xor b = a。xor運算可以用於簡單的加密，比如我想對我MM說1314520，但怕別人知道，於是雙方約定拿我的生日19880516作爲密鑰。1314520 xor 19880516 = 20665500，我就把20665500告訴MM。MM再次計算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，於是她就明白了我的企圖。
下面我們看另外一個東西。定義兩個符號#和@（我怎麼找不到那個圈裏有個叉的字符），這兩個符號互爲逆運算，也就是說(x # y) @ y = x。現在依次執行下面三條命令，結果是什麼？x <- x # y
y <- x @ y
x <- x @ y
執行了第一句後x變成了x # y。那麼第二句實質就是y <- x # y @ y，由於#和@互爲逆運算，那麼此時的y變成了原來的x。第三句中x實際上被賦值爲(x # y) @ x，如果#運算具有交換律，那麼賦值後x就變成最初的y了。這三句話的結果是，x和y的位置互換了。
加法和減法互爲逆運算，並且加法滿足交換律。把#換成+，把@換成-，我們可以寫出一個不需要臨時變量的swap過程(Pascal)。procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a + b;
b:=a - b;
a:=a - b;
end;
好了，剛纔不是說xor的逆運算是它本身嗎？於是我們就有了一個看起來非常詭異的swap過程：procedure swap(var a,b:longint);
begin
a:=a xor b;
b:=a xor b;
a:=a xor b;
end;
=== 4. not運算 ===
not運算的定義是把內存中的0和1全部取反。使用not運算時要格外小心，你需要注意整數類型有沒有符號。如果not的對象是無符號整數（不能表示負數），那麼得到的值就是它與該類型上界的差，因爲無符號類型的數是用$0000到$FFFF依次表示的。下面的兩個程序（僅語言不同）均返回65435。var
a:word;
begin
a:=100;
a:=not a;
writeln(a);
end.#include <stdio.h>
int main()
{
unsigned short a=100;
a = ~a;
printf( "%dn", a );
return 0;
}
如果not的對象是有符號的整數，情況就不一樣了，稍後我們會在“整數類型的儲存”小節中提到。
=== 5. shl運算 ===
a shl b就表示把a轉爲二進制後左移b位（在後面添b個0）。例如100的二進制爲1100100，而110010000轉成十進制是400，那麼100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值實際上就是a乘以2的b次方，因爲在二進制數後添一個0就相當於該數乘以2。
通常認爲a shl 1比a * 2更快，因爲前者是更底層一些的操作。因此程序中乘以2的操作請儘量用左移一位來代替。
定義一些常量可能會用到shl運算。你可以方便地用1 shl 16 – 1來表示65535。很多算法和數據結構要求數據規模必須是2的冪，此時可以用shl來定義Max_N等常量。
=== 6. shr運算 ===
和shl相似，a shr b表示二進制右移b位（去掉末b位），相當於a除以2的b次方（取整）。我們也經常用shr 1來代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想辦法用shr代替除法運算可以使程序效率大大提高。最大公約數的二進制算法用除以2操作來代替慢得出奇的mod運算，效率可以提高60%。
位運算的簡單應用
有時我們的程序需要一個規模不大的Hash表來記錄狀態。比如，做數獨時我們需要27個Hash表來統計每一行、每一列和每一個小九宮格里已經有哪些數了。此時，我們可以用27個小於2^9的整數進行記錄。例如，一個只填了2和5的小九宮格就用數字18表示（二進制爲000010010），而某一行的狀態爲511則表示這一行已經填滿。需要改變狀態時我們不需要把這個數轉成二進制修改後再轉回去，而是直接進行位操作。在搜索時，把狀態表示成整數可以更好地進行判重等操作。這道題是在搜索中使用位運算加速的經典例子。以後我們會看到更多的例子。
下面列舉了一些常見的二進制位的變換操作。
功能 | 示例 | 位運算
———————-+—————————+——————–
去掉最後一位 | (101101->10110) | x shr 1
在最後加一個0 | (101101->1011010) | x shl 1
在最後加一個1 | (101101->1011011) | x shl 1+1
把最後一位變成1 | (101100->101101) | x or 1
把最後一位變成0 | (101101->101100) | x or 1-1
最後一位取反 | (101101->101100) | x xor 1
把右數第k位變成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))
把右數第k位變成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))
右數第k位取反 | (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))
取末三位 | (1101101->101) | x and 7
取末k位 | (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)
取右數第k位 | (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1
把末k位變成1 | (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)
末k位取反 | (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)
把右邊連續的1變成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)
把右起第一個0變成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)
把右邊連續的0變成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)
取右邊連續的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1
去掉右起第一個1的左邊 | (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))
最後這一個在樹狀數組中會用到。
Pascal和C中的16進製表示
Pascal中需要在16進制數前加$符號表示，C中需要在前面加0x來表示。這個以後我們會經常用到。
整數類型的儲存
我們前面所說的位運算都沒有涉及負數，都假設這些運算是在unsigned/word類型（只能表示正數的整型）上進行操作。但計算機如何處理有正負符號的整數類型呢？下面兩個程序都是考察16位整數的儲存方式（只是語言不同）。var
a,b:integer;
begin
a:=$0000;
b:=$0001;
write(a,' ',b,' ');
a:=$FFFE;
b:=$FFFF;
write(a,' ',b,' ');
a:=$7FFF;
b:=$8000;
writeln(a,' ',b);
end.#include <stdio.h>
int main()
{
short int a, b;
a = 0x0000;
b = 0x0001;
printf( "%d %d ", a, b );
a = 0xFFFE;
b = 0xFFFF;
printf( "%d %d ", a, b );
a = 0x7FFF;
b = 0x8000;
printf( "%d %dn", a, b );
return 0;
}
兩個程序的輸出均爲0 1 -2 -1 32767 -32768。其中前兩個數是內存值最小的時候，中間兩個數則是內存值最大的時候，最後輸出的兩個數是正數與負數的分界處。由此你可以清楚地看到計算機是如何儲存一個整數的：計算機用$0000到$7FFF依次表示0到32767的數，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的數。32位有符號整數的儲存方式也是類似的。稍加註意你會發現，二進制的第一位是用來表示正負號的，0表示正，1表示負。這裏有一個問題：0本來既不是正數，也不是負數，但它佔用了$0000的位置，因此有符號的整數類型範圍中正數個數比負數少一個。對一個有符號的數進行not運算後，最高位的變化將導致正負顛倒，並且數的絕對值會差1。也就是說，not a實際上等於-a-1。這種整數儲存方式叫做“補碼”。
最後還有兩句話
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