今天做題遇到了海明碼，網上相關知識很多，可惜大多都要把知識點看透才能明白海明碼到底是什麼，這裏我整理自己的學習過程和理解。
海明碼初步
首先海明碼是一種校檢碼，數位中包括數據位和校檢位，是奇偶校檢碼的升級。
假設讀者對奇偶校檢碼很熟悉，它只能指出某組數據是否出錯，但是無法確定出錯的位置。海明碼則通過多增加幾個奇偶校檢位，相互關聯，進而找出出錯的位置。當然以上分析都假定出錯只會發生一次，也就是說一組數據最多隻有一個地方出錯。
“互相關聯”是什麼意思？這東西很神奇，繼續往下看。
如果單純看教材，書本上首先映入眼簾的是，已知原始數據爲k位，求需要的海明校檢碼的位數r，直接給出公式k+r≤r^2-1。這太違背學習軌跡了。我們重頭來。
原始數據k位，海明碼r位，意味着一組數據是k+r位，重點：數據傳輸中出錯，並不一定是數據位裏的k位出錯，校檢位r位也有出錯的可能性，爲了能夠找到出錯的具體位置，我們首先羅列所有的情況
①數據沒有出錯。情況數 1
②數據出現1位錯誤。情況數 k+r
③有多位出現錯誤，不予考慮
可見一共有(k+r+1)種情況。
再考慮充當檢校的r位，它們的0/1組合，一共可以組成r^2種情況(00…0~11…1，r個2相乘)。所以爲了涵蓋上述的出錯情況，真正有意義的公式應該寫成
k+r+1≤r^2
這裏先放下不表。
其二，檢校位的擺放位置
從本質上來說隨便放哪裏都可以，但是爲了不同機器、軟件的兼容，以及生成、檢校算法實現的方便，採用如下方式插入檢校碼。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 檢校1 | 檢校2 | 數據1 | 檢校3 | 數據2 | 數據3 | 數據4 | 檢校4 | 數據5 | 數據6 | 數據7 | 數據8 | … |
表格第一排是原始數據和檢校位合併後總數據位，從左到右升序，以1起頭。第二排是檢校位和(原始)數據位的擺放位置。
先找規律，開頭兩位都是檢校位，第i個檢校位，位於總位數(i-1)^2的位置處，如第4個檢校位，位於總數位的8。
其他空格的地方是(原始)數據位。
可以理解成，檢校位先固定了位置，(原始)數據再插入其中。
原來是數據位“插”檢校位中，而不是一開始認爲的檢校位“插”數據位中，當然這只是一種理解方式。例如：
我需要傳輸1位數據，那就插到3號位，總數據位數爲3，檢校位數目2個。
我需要傳輸2位數據，那就插到3和5號位，總數據位數爲5，檢校位數目2個。
… …
我需要傳輸5位數據，那就插到3、5、6、7、9號位，總數據位數爲9，檢校位數目4個。
… …
其三，檢校位的值的確認
每個檢校位裏面填0還是1的問題。繼續看錶
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 檢校1 | 檢校2 | 數據1 | 檢校3 | 數據2 | 數據3 | 數據4 | 檢校4 | 數據5 | 數據6 | 數據7 | 數據8 | … | |
| 檢校1子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 檢校2子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 檢校3子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 檢校4子序列 | O | O | O | O | … |
對於檢校i位，它從自己開始，按照取i位數，跳i位數輪流的方式得到子序列，在子序列中，按照奇偶校驗的方式確定自己的值。
例如下面的數據，原數據爲101101，共5位，分別插入第3、5、6、7、9位中，組成一個9位的總數據。現在要確認檢校位的取值，假設爲奇校驗法。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 檢校1 | 檢校2 | 數據1 | 檢校3 | 數據2 | 數據3 | 數據4 | 檢校4 | 數據5 |
| ？ | ？ | 1 | ? | 1 | 1 | 0 | ？ | 1 |
我們開始找每個檢校位對應的子序列。
檢校1，從自己開始，取1跳1。即?1101，按奇校驗方式，檢校1=0。
檢校2，從自己開始，取2跳2。即?110，因此檢校2=1。
檢校3，從自己開始，取3跳3。即?11，因此檢校3=1。
檢校4，從自己開始，取4跳4。即?1，因此檢校4=0。
所以整個數據爲0111 1100 1
海明碼檢校方法
仔細看這張表。再結合上面以子序列確定對應檢校位的數字分析。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | … | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 檢校1 | 檢校2 | 數據1 | 檢校3 | 數據2 | 數據3 | 數據4 | 檢校4 | 數據5 | 數據6 | 數據7 | 數據8 | … | |
| 檢校1子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 檢校2子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 檢校3子序列 | O | O | O | O | O | O | … | ||||||
| 檢校4子序列 | O | O | O | O | … |
可以發現這樣的規律——
當總數據位1號出錯，“檢校1”的奇偶校驗能報告異常，例如上面的例子，傳輸數據“0111 1100 1”，接受爲“1111 1100 1”時，校驗1 的子序列此時爲“11101”，奇校驗異常(偶數個1)
其他具體分析略。結論：當總數位的i位出錯時，表中對應有圈圈的檢校位就會報錯，而且這種報錯方式是唯一的，例如當只有檢校2和3報錯時，那麼一定是6號數據出錯(也就是原始數據的第3位)
也就是說，這種報錯和出錯位置的是一一對應的，是不是對公式k+r+1≤r^2有了更深的理解呢？
海明碼只能檢測1位錯誤
大家先想想是不是這樣的。
例如1、2號位同時出錯，查表得，檢校1和2會同時報錯，這和單獨3號位出錯的報錯方法一致。導致系統認爲出錯的是3號位，因此1改0，0改1。
再比如5、7號位同時出錯，查表，這時檢校1和3會報錯，而檢校2因爲錯了兩次，錯錯得正，反而不報錯。最後系統認爲5號位出錯。
還好一般多位出錯的情況極其罕見。當然在通訊極其惡劣的場合，海明碼也沒得救。
（碎碎念：當時看書，覺得這東西真複雜，沒想到弄懂了也挺有趣的）