每日一問之初識牛頓迭代法（Newton's method）

什麼是牛頓迭代法？

今天在刷 LeetCode 的 sqrt(x) 這道題的時候，看到別人的解法中有使用牛頓迭代法。之前也看到這個方法很多次，但都沒有去了解。今天正好就這個問題來稍微整理一下：

• 什麼是牛頓法？
• 爲什麼可以用它來求解開方問題？

什麼是牛頓法

在維基百科中的定義如下：

In numerical analysis, Newton's method (also known as the Newton–Raphson method), named after Isaac Newton and Joseph Raphson, is a method for finding successively better approximations to the roots (or zeroes) of a real-valued function. It is one example of a root-finding algorithm.

牛頓法是一種用於找到實數函數的根的近似值的方法，是求根算法中的一個代表。下面以一個例子來具體說明用牛頓法求根的過程。

一個變量中的 Newton-Raphson 方法實現如下，主要的想法來自這個視頻，這個教授講解的挺明白的，一共有 7 個視頻，想了解更多的可以查看視頻。

假設我們有一個連續的函數，其在 軸上存在很多根（零點）。現在在 軸上取一初始點 ，該點對應的函數值爲 。然後在該點的函數值附近畫切線，切線與 軸的交點爲 。假設 ，在由切線，x 軸及函數值 形成的三角形中，可以求得斜率 ，化解可得 。slope 即爲函數在 處的導數，所以有 ，最後代入得 。後面在 對應的函數值處取切線，然後開始新一輪的迭代。之後再循環這個過程，直到達到足夠準確的值，這就是牛頓法求根的過程。過程中迭代的公式可以寫成：

爲什麼可以用它來求解開方問題？

根據上面的基本介紹，牛頓法是用於求解一個實數函數的根的近似值的方法。然而開方問題可以看成是對方程 求根的問題，所以就可以用牛頓法來求解：首先可以得知 ，所以迭代公式爲

依據該迭代公式，對應 LeetCode 的 sqrt(x) 這道題寫成 Python 代碼就會很簡潔，比二分法要簡潔多了，且運行時間也快一些。

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """       
        
        """
        # 採用二分法
        low, high = 0, x
        while(low <= high):
            mid = int((low + high) / 2)
            if mid*mid > x :
                high = mid - 1
            elif mid*mid < x:
                low = mid + 1
            else:
                return mid

        
        return low - 1
        """
        # 採用牛頓迭代法
        r = x
        while r*r > x:
            r = int((r + x/r) / 2)
        
        return r 

參考

[1]. Newton's method - wikipedia
[2]. Calculus: Newton's Method (1 of 7) Basics Continued: Roots of Functions

P.S：文中有錯歡迎指出，互相學習。以及歡迎關注我的公衆號 :)