一、爲什麼要用典型相關分析
典型相關分析研究的是兩組變量之間的關係，如{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}兩組變量之間的關係。
具體來說，變量間的相關關係可以分爲以下幾種：
- 兩個變量間的線性相關關係，可用簡單相關係數
- 一個變量與多個變量之間的線性相關關係，可用復相關係數。
- 多個變量與多個變量間的相關關係，使用典型相關關係
二、典型相關分析的基本原理
典型相關分析在研究兩組變量間的線性相關關係時，將每一組變量作爲一個整體進行分析。它採用類似於主成分分析（PCA）的方法，在每一組變量中都選擇若干個有代表性的綜合指標，這些綜合指標是原始變量的線性組合，代表了原始變量的大部分信息，且兩組綜合指標的相關程度最大。
簡單地說，對於{x1, x2, x3}和{y1, y2, y3}兩組變量，我們先求出能體現x和y最大相關性的一對變量u1,v1：u1是{x1, x2, x3}的線性組合，v1是{y1, y2, y3}的線性組合。
然後再類似的求第二、第三對典型相關變量，然後我們就得到兩組典型相關變量{u1,u2,u3}和{v1,v2,v3}。三對典型相關變量是彼此不相關的，它們反應了變量組x和y之間的相關關係。
當兩組變量的數量不一致時，那麼可提取到的典型變量個數就等於較少數據組的變量個數，如對於{x1, x2, x3}和{y1, y2}，可提取的典型變量爲2個。
三、實例分析
1.數據
某個研究人員收集了600名大學新生的三個心理變量，四個學術變量（標準化考試成績） 。他希望研究者3個心理變量與4個學術變量間的相關關係。
也就是說，我們要分析
- 變量組x{外向傾向，自我概念，動機水平}
- 變量組y{閱讀成績，寫作成績，數學成績，理科成績}
之間的相關關係。數據如下圖所示：
2.分析
在SPSS25中，選擇：分析→相關→典型相關性，在選項中勾選成對相關性
（備註：SPSS23前的版本沒有這個選項，需要使用自定義宏）
3.結果
此圖反映了各變量間的相關係數，從中可以看出不同變量間的相關程度。
如果組內變量間的相關係數高，說明兩者包含的信息有重疊部分；如果組間變量相關係數高，則說明兩者有一定相關性（- -！）。
此圖給出了典型相關係數及其檢驗，結果表明前兩個典型相關係數是顯著的，因此我們選擇前兩個典型相關變量進行解釋。
具體來說，第一對典型相關變量的相關係數是0.446，p< .001；第二對典型相關變量的相關係數是0.153，p= .025
上圖分別是兩組變量的標準化相關係數和未標準化的相關係數。
根據此圖，可以寫出各典型變量的表達式，如對於第一對典型變量u1和v1：
其標準化的表達式爲（Z外向傾向表示將該變量標準化後的值）：
u1 = -0.838*Z外向傾向+0.167*Z自我概念-0.428*Z動機水平
v1 = -0.445*Z閱讀成績-0.536*Z寫作成績-0.183*Z數學成績+0.037*Z理科成績
非標準化的表達式爲
u1 = -1.250*外向傾向+0.237*自我概念-1.249*動機水平
v1 = -0.044*閱讀成績-0.055*寫作成績-0.019*數學成績+0.004*理科成績
PS：再講解一下兩者的一些不同之處：
標準化的係數由於經過標準化，因此係數相互之間是可比的，用處是用於比較不同自變量對應變量的影響程度。比如在set1的標準化係數中，外向傾向的係數是-0.838，自我概念的係數是0.167，因此我們可以認爲外向傾向對成績的影響比自我概念影響更大。
而未標準化的係數因爲每個變量沒有標準化，量綱不一樣，因此不能直接用係數大小比較自變量貢獻程度，它的用處是可以用於計算CCA得分,（直接用係數乘以原始數據）
上圖是冗餘分析的結果，它說明各典型變量對各變量組方差解釋的比例。
以上是個人對典型相關分析學習的總結筆記，如有錯誤，歡迎討論和指正。