leetcode62. 不同路徑

題目

一個機器人位於一個 m x n 網格的左上角 （起始點在下圖中標記爲“Start” ）。

機器人每次只能向下或者向右移動一步。機器人試圖達到網格的右下角（在下圖中標記爲“Finish”）。

問總共有多少條不同的路徑？

例如，上圖是一個7 x 3 的網格。有多少可能的路徑？

說明：m 和 n 的值均不超過 100。

示例 1:

輸入: m = 3, n = 2
輸出: 3
解釋:
從左上角開始，總共有 3 條路徑可以到達右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

輸入: m = 7, n = 3
輸出: 28

解題

• 動態規劃
• 最下方和最右側點, 路徑均爲1
• 節點{x, y}到終點的路徑數等於下方和右側的路徑數之和
• 所以動態規劃的狀態轉移方程爲 : f(x,y) = f(x + 1, y) + f(x, y + 1)

/**
 *  62. 不同路徑
 *  動態規劃, 狀態轉移方程, 當前點的路徑數 = 下方的路徑 + 右側的路徑
 *  邊界就是, 最下方和最右方的路徑數都爲1
 */
class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if (m < 1 || n < 1) {
            return 0;
        }
        int[][] result = new int[m][n];
        Arrays.fill(result, new int[n]);
        // 最下面一行都只有一條路徑 : 一直向右
        Arrays.fill(result[m - 1], 1);
        result[m - 1][n - 1] = 1;
        for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {
            // 最右邊一行也都只有一條路徑 : 一直向下
            result[i][n - 1] = 1;
            for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {
                // {i,j}這個點的路徑數爲下方模塊的路徑 + 右側模塊路徑
                // 最下面一行和最右邊一行已經提前賦值了, 所以i + 1和j + 1肯定都是合法的
                result[i][j] = result[i][j + 1] + result[i + 1][j];
            }
        }

        return result[0][0];
    }
}