揹包問題有三種：
1. 01揹包： 每件物品只能放一次
2. 完全揹包：每種物品可以放無限多次
3. 多重揹包：每件物品可以放有限次數
01揹包
1）問題描述：**有n 個物品，它們有各自的重量和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具有最大的價值總和？（一個物品選一次）
（2）遞推關係式：
- j<w(i)： V(i,j)=V(i-1,j)
- j>=w(i)： V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝
（3）優化空間：
/*
01揹包
適用於輸入格式如下的問題，出現問題請自行調整：
第一行兩個整數M, N分別表示揹包空間與物品總數；
第2到N+1行每行兩個整數，分別表示這類物品每個的價值和所需空間。
*/
#include<cstdio>
const int MAXM=10001,MAXN=51;
int m,n;
int w[MAXN],c[MAXN];
int f[MAXM];
int max(int x,int y)
{
return x>y?x:y;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=m;j>=w[i];j--) //逆序
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
完全揹包
（1）問題描述
完全揹包和01揹包類似，只不過每種物品有無限多件，你愛取幾件取幾件！它們的代碼也是極其的相似！僅僅是for循環的順序從逆序變成了順序。
（2）遞推關係
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}
（3）代碼：
爲什麼是順序？ - 因爲每種物品的數目是無限的，我們是在當前揹包裏的物品的基礎上繼續加當前物品，有可能揹包裏已經有這種物品了。所以我們只需要考慮當前狀態。
/*
完全揹包，輸入規則：
第一行兩個整數M, N分別表示揹包空間與物品總數；
第2到N+1行每行兩個整數，分別表示這類物品每個的價值和所需空間。
*/
#include<cstdio>
const int MAXM=10001,MAXN=51;
int m,n;
int w[MAXN],c[MAXN];
int f[MAXM];
int max(int x,int y)
{
return x>y?x:y;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&w[i],&c[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=w[i];j<=m;j++) //順序
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
printf("%d\n",f[m]);
return 0;
}
多重揹包
（1）問題描述
多重揹包是每個物品有不同的個數限制，如第i個物品個數爲num[i]。。
多重揹包問題的特點是數據量大，若按照01揹包的做法開dp[ m ] [ n ]的數組進行遍歷必會超時，所以建立數組時開設dp[ maxn ]（maxn爲數據可能達到的最大值）。
（2）遞推關係
同樣可以用f[i][j]表示前i間物品恰放入一個容器爲j的揹包可以獲得的最大價值，且每個物品數量不超多num[i]。則其狀態轉移方程爲：
f[i][j] = max{f[i-1][j-kweight[i]]+kvalue[i]} ,
其中(0<=k<=min{j/weight[i], num[i]})
（3）代碼
多重揹包問題限定了一種物品的個數，解決多重揹包問題，只需要把它轉化爲0-1揹包問題即可。比如，有2件價值爲5，重量爲2的同一物品，我們就可以分爲物品a和物品b，a和b的價值都爲5，重量都爲2，但我們把它們視作不同的物品。
存在問題：空間不夠
#include <iostream>
using namespace std;
#define V 1000
int weight[50 + 1];
int value[50 + 1];
int num[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
int main() {
int n, m;
cout << "請輸入物品個數:";
cin >> n;
cout << "請分別輸入" << n << "個物品的重量、價值和數量:" << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
}
int k = n + 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (num[i] != 1) {
weight[k] = weight[i];
value[k] = value[i];
k++;
num[i]--;
}
}
cout << "請輸入揹包容量:";
cin >> m;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
for (int j = m; j >= 1; j--) {
if (weight[i] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << "揹包能放的最大價值爲:" << f[m] << endl;
}
（4）優化空間
http://blog.csdn.net/chuck001002004/article/details/50340819
初始化將數組dp[ ]全部設爲0，將dp[ 0 ]設爲1。利用雙重循環 i 從1到n遍歷w[ i ]，內層循環 j 從v[ i ]開始往後遍歷，只要dp[ j - v[ i ] ]值爲真（即表示價值j-v[ i ]能夠滿足）且dp[ j ]值爲假（表示價值 j 尚未被滿足）則價值 j 是有可能達到的。爲什麼說有可能？是因爲能否達到價值 j 也得看v[ i ]的數量是否達到上限。如何記錄w[ i ]的數量呢？還是要開設一個專門記錄個數的數組num[ maxn ]，在第一層循環內將數組num[ ]初始化爲0，一旦滿足 dp[ j - v[ i ] ]&&!dp[ j ]&&num[ j - v[ i ] ]<w[ i ] 則說明價值 j 是可以滿足的，則將dp[ j ]的值設爲真，再將num[ j ]=num[ j - v[ i ] ]+1 表示價值 j 所對應的價值爲v[ i ]的物品的使用數在價值爲 j-v[ i ]的基礎上加1，此步操作尤爲關鍵！之後根據題意看求什麼邊操作即可。
（5）類似問題
A．爲了挽救災區同胞的生命，心繫災區同胞的你準備自己採購一些糧食支援災區，現在假設你一共有資金n元，而市場有m種大米，每種大米都是袋裝產品，其價格不等，並且只能整袋購買。
請問：你用有限的資金最多能採購多少公斤糧食呢？
B．n種價值的硬幣，每種都有其數量w[ i ]，給一個最大價值量m求出不超過最大價值量的情況下能湊出多少種價值。