歐拉函數

歐拉函數

概念：歐拉函數是小於x的整數中與x互質的數的個數，一般用φ(x)表示。特殊的，φ(1)=1。

通式 ： $\varphi(x) = x\prod^{n}_{i = 1}(1 - \frac{1}{p_i}), \ \varphi(1) = 1$
其中$p_1, p_2,.....p_n$爲x的所有質因數（每個質因數只有一個），x爲正整數

那麼如何理解上面的式子呢？（轉）
對於一個質因數$p_i$,因爲x以內$p_i$的倍數是均勻分佈的，所以x以內有$\frac{1}{p_i}$的概率是$p_i$的倍數
那麼有$1 - \frac{1}{p_i}$的數不是$p_i$的倍數。
對於$p_j$，同理，有$1-\frac{1}{p_j}$不是$p_j$的倍數，所以有$(1 - \frac{1}{p_i}) * (1-\frac{1}{p_j})$的數既不是$p_i$的倍數，又不是$p_j$的倍數，最後就有$\prod{n}{i = 1}(1-\frac{1}{p_i})$的數與x互質，個數自然就是$x\prod{n}{i = 1}(1-\frac{1}{p_i})$
舉個例子，令x = 12。
12以內有$\frac{1}{2}$的數是2的倍數，那麼有$1-\frac{1}{2}$的數不是2的倍數（1，3,，5,，7,，9，11）
這6個數又有$\frac{1}{3}$的數是3的倍數，只剩下$(1-\frac{1}{2}) * (1-\frac{1}{3})$的數既不是2的倍數，也不是3的倍數(1,5,7,11)
這樣剩下來的$12 *(1-\frac{1}{2}) *(1-\frac{1}{3}) = 4$，即有4個數與12互質。

實現代碼：
(1)直接求不超過n的互質的個數

int euler(int n) {
    int ans = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1); //先進行除法防止溢出(ans = ans * (1 - 1 / p(i)))
            while (n % i == 0)  n /= i;
        }
    }
    if (n ^ 1)  // n != 1
        ans = ans / n * (n - 1);
    return ans;
}

（2）求[1,n]之間每個數的質因數的個數

const int size = 1e6;
int euler[size];
void Init()	{
	memset(euler, 0, sizeof(euler));
	euler[1]=1;
	for(int i = 2; i < size; i++)
		if(!euler[i])	{
			for(int j = i; j < size; j += i)	{
				if(!euler[j])
					euler[j] = j;
              euler[j] = euler[j] / i * (i - 1);//先進行除法是爲了防止中間數據的溢出
          }
      }   
  }