線段樹

參考：https://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6254255.html

數據結構——線段樹

O、引例

A.給出n個數，n<=100，和m個詢問，每次詢問區間[l，r]的和，並輸出。

一種回答：這也太簡單了，O（n）枚舉搜索就行了。

另一種回答：還用得着o(n）枚舉，前綴和o(1)就搞定。

那好，我再修改一下題目。

B.給出n個數，n<=100，和m個操作，每個操作可能有兩種：1、在某個位置加上一個數；2、詢問區間[l，r]的和，並輸出。

回答：o（n）枚舉。

動態修改最起碼不能用靜態的前綴和做了。

好，我再修改題目：

C.給出n個數，n<=1000000，和m個操作，每個操作可能有兩種：1、在某個位置加上一個數；2、詢問區間[l，r]的和，並輸出。

回答：o（n）枚舉絕對超時。

再改：

D，給出n個數，n<=1000000，和m個操作，每個操作修改一段連續區間[a,b]的值

回答：從a枚舉到b，一個一個改。。。。。。有點兒常識的人都知道超時

那怎麼辦？這就需要一種強大的數據結構：線段樹。

一、基本概念

1、線段樹是一棵二叉搜索樹，它儲存的是一個區間的信息。

2、每個節點以結構體的方式存儲，結構體包含以下幾個信息：

區間左端點、右端點；（這兩者必有）

這個區間要維護的信息（事實際情況而定，數目不等）。

3、線段樹的基本思想：二分。

4、線段樹一般結構如圖所示：

5、特殊性質：

由上圖可得，

1、每個節點的左孩子區間範圍爲[l，mid]，右孩子爲[mid+1,r]

2、對於結點k，左孩子結點爲2*k，右孩子爲2*k+1，這符合完全二叉樹的性質

二、線段樹的基礎操作

注：以下基礎操作均以引例中的求和爲例，結構體以此爲例：

struct node
{
int l,r,w;//l，r分別表示區間左右端點，w表示區間和
}tree[4*n+1];

線段樹的基礎操作主要有5個：

建樹、單點查詢、單點修改、區間查詢、區間修改。

1、建樹，即建立一棵線段樹

① 主體思路：a、對於二分到的每一個結點，給它的左右端點確定範圍。

b、如果是葉子節點，存儲要維護的信息。

c、狀態合併。

②代碼

void build(int l,int r,int k)
{
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    if(l==r)//葉子節點 
    {
        scanf("%d",&tree[k].w);
        return ; 
    }
    int m=(l+r)/2;
    build(l,m,k*2);//左孩子 
    build(m+1,r,k*2+1);//右孩子 
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//狀態合併，此結點的w=兩個孩子的w之和 
}

③注意

a.結構體要開4倍空間，爲啥自己畫一個[1,10]的線段樹就懂了

b.千萬不要漏了return語句，因爲到了葉子節點不需要再繼續遞歸了。

2、單點查詢，即查詢一個點的狀態，設待查詢點爲x

①主體思路：與二分查詢法基本一致，如果當前枚舉的點左右端點相等，即葉子節點，就是目標節點。如果不是，因爲這是二分法,所以設查詢位置爲x，當前結點區間範圍爲了l，r，中點爲 mid，則如果x<=mid，則遞歸它的左孩子，否則遞歸它的右孩子

②代碼

void ask(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r) //當前結點的左右端點相等，是葉子節點，是最終答案 
    {
        ans=tree[k].w;
        return ;
    }
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) ask(k*2);//目標位置比中點靠左，就遞歸左孩子 
    else ask(k*2+1);//反之，遞歸右孩子 
}

③正確性分析：

因爲如果不是目標位置，由if—else語句對目標位置定位，逐步縮小目標範圍，最後一定能只到達目標葉子節點。

3、單點修改，即更改某一個點的狀態。用引例中的例子，對第x個數加上y

①主體思路

結合單點查詢的原理，找到x的位置；根據建樹狀態合併的原理，修改每個結點的狀態。

②代碼

void add(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)//找到目標位置 
    {
        tree[k].w+=y;
        return;
    }
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) add(k*2);
    else add(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//所有包含結點k的結點狀態更新 
}

4、區間查詢，即查詢一段區間的狀態，在引例中爲查詢區間[x,y]的和

①主體思路

mid=(l+r)/2

y<=mid ,即查詢區間全在，當前區間的左子區間，往左孩子走

x>mid 即查詢區間全在，當前區間的右子區間，往右孩子走

否則，兩個子區間都走

②代碼

void sum(int k)
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) 
    {
        ans+=tree[k].w;
        return;
    }
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) sum(k*2);
    if(y>m) sum(k*2+1);
}

③正確性分析

情況1，3不用說，對於情況2，最差情況是搜到葉子節點，此時一定滿足情況1

5、區間修改，即修改一段連續區間的值，我們已給區間[a,b]的每個數都加x爲例講解

Ⅰ.引子

有人可能就想到了：

修改的時候只修改對查詢有用的點。

對，這就是區間修改的關鍵思路。

爲了實現這個，我們引入一個新的狀態——懶標記。

Ⅱ 懶標記

（懶標記比較難理解，我盡力講明白。。。。。。）

1、直觀理解：“懶”標記，懶嘛！用到它才動，不用它就睡覺。

2、作用：存儲到這個節點的修改信息，暫時不把修改信息傳到子節點。就像家長扣零花錢，你用的時候纔給你，不用不給你。

3、實現思路（重點）：

a.原結構體中增加新的變量，存儲這個懶標記。

b.遞歸到這個節點時，只更新這個節點的狀態，並把當前的更改值累積到標記中。注意是累積，可以這樣理解：過年，很多個親戚都給你壓歲錢，但你暫時不用，所以都被你父母扣下了。

c.什麼時候纔用到這個懶標記？當需要遞歸這個節點的子節點時，標記下傳給子節點。這裏不必管用哪個子節點，兩個都傳下去。就像你如果還有妹妹，父母給你們零花錢時總不能偏心吧

d.下傳操作：

3部分：①當前節點的懶標記累積到子節點的懶標記中。

②修改子節點狀態。在引例中，就是原狀態+子節點區間點的個數*父節點傳下來的懶標記。

這就有疑問了，既然父節點都把標記傳下來了，爲什麼還要乘父節點的懶標記，乘自己的不行嗎？

因爲自己的標記可能是父節點多次傳下來的累積，每次都乘自己的懶標記造成重複累積

③父節點懶標記清0。這個懶標記已經傳下去了，不清0後面再用這個懶標記時會重複下傳。就像你父母給了你5元錢，你不能說因爲前幾次給了你10元錢, 所以這次給了你15元，那你不就虧大了。

懶標記下穿代碼：f爲懶標記，其餘變量與前面含義一致。

void down(int k)
{
    tree[k*2].f+=tree[k].f;
    tree[k*2+1].f+=tree[k].f;
    tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);
    tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);
    tree[k].f=0;
}

Ⅲ 完整的區間修改代碼：

void add(int k)
{
    if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)//當前區間全部對要修改的區間有用 
    {
        tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1區間點的總數
        tree[k].f+=x;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);//懶標記下傳。只有不滿足上面的if條件才執行，所以一定會用到當前節點的子節點 
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(a<=m) add(k*2);
    if(b>m) add(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改區間狀態 
}

Ⅳ.懶標記的引入對其他基本操作的影響

因爲引入了懶標記，很多用不着的更改狀態存了起來，這就會對區間查詢、單點查詢造成一定的影響。

所以在使用了懶標記的程序中，單點查詢、區間查詢也要像區間修改那樣，對用得到的懶標記下傳。其實就是加上一句if(tree[k].f) down（k），其餘不變。

引入了懶標記的單點查詢代碼：

void ask(int k)//單點查詢
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        ans=tree[k].w;
        return ;
    }
    if(tree[k].f) down(k);//懶標記下傳，唯一需要更改的地方
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) ask(k*2);
    else ask(k*2+1);
}

引入了懶標記的區間查詢代碼：

void sum(int k)//區間查詢
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) 
    {
        ans+=tree[k].w;
        return;
    }
    if(tree[k].f)  down(k)//懶標記下傳，唯一需要更改的地方
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) sum(k*2);
    if(y>m) sum(k*2+1);
}

三、總結

線段樹5種基本操作代碼：

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,p,a,b,m,x,y,ans;
struct node
{
    int l,r,w,f;
}tree[400001];
inline void build(int k,int ll,int rr)//建樹 
{
    tree[k].l=ll,tree[k].r=rr;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%d",&tree[k].w);
        return;
    }
    int m=(ll+rr)/2;
    build(k*2,ll,m);
    build(k*2+1,m+1,rr);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
inline void down(int k)//標記下傳 
{
    tree[k*2].f+=tree[k].f;
    tree[k*2+1].f+=tree[k].f;
    tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);
    tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);
    tree[k].f=0;
}
inline void ask_point(int k)//單點查詢
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        ans=tree[k].w;
        return ;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) ask_point(k*2);
    else ask_point(k*2+1);
}
inline void change_point(int k)//單點修改 
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        tree[k].w+=y;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) change_point(k*2);
    else change_point(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 
}
inline void ask_interval(int k)//區間查詢 
{
    if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) 
    {
        ans+=tree[k].w;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(a<=m) ask_interval(k*2);
    if(b>m) ask_interval(k*2+1);
}
inline void change_interval(int k)//區間修改 
{
    if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)
    {
        tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y;
        tree[k].f+=y;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(a<=m) change_interval(k*2);
    if(b>m) change_interval(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);//n個節點 
    build(1,1,n);//建樹 
    scanf("%d",&m);//m種操作 
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&p);
        ans=0;
        if(p==1)
        {
            scanf("%d",&x);
            ask_point(1);//單點查詢,輸出第x個數 
            printf("%d",ans);
        } 
        else if(p==2)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            change_point(1);//單點修改 
        }
        else if(p==3)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);//區間查詢 
            ask_interval(1);
            printf("%d\n",ans);
        }
        else
        {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//區間修改 
             change_interval(1);
        }
    }
}

四、空間優化

父節點k，左二子2*k，右兒子2*k+1，需要4*n的空間

但並不是所有的葉子節點佔用到2n+1——4n

這就造成大量空間浪費

2*n空間表示法：推薦博客：http://www.cppblog.com/MatoNo1/archive/2015/05/05/195857.html

用dfs序表示做節點下標

父節點k，左兒子k+1，右兒子：k+左兒子區間長度*2，不是父節點下標+父節點區間長度。因爲當樹不滿時，兩者不相等

具體實現這裏就不再寫模板了，就是改改左右兒子的下標

可參考代碼：題目：樓房重建http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/p/6361242.html

裏面的建樹用的2*n空間

五、模板題

1、codevs 1080 線段樹練習（單點修改+區間查詢） http://codevs.cn/problem/1080/

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m,p,x,y,ans;
struct node
{
    int l,r,w;
}tree[400001];
inline void build(int l,int r,int k)
{
    tree[k].l=l;tree[k].r=r;
    if(l==r) 
    {
        scanf("%d",&tree[k].w);
        return ;
    }
    int m=(l+r)/2;
    build(l,m,k*2);
    build(m+1,r,k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
inline void add(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        tree[k].w+=y;
        return;
    }
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) add(k*2);
    else add(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 
}
inline void sum(int k)
{
    if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) 
    {
        ans+=tree[k].w;
        return;
    }
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) sum(k*2);
    if(y>m) sum(k*2+1);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    build(1,n,1);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&p,&x,&y);
        ans=0;
        if(p==1) add(1);
        else 
        {
            sum(1);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
}

2、codevs 1081 線段樹練習2 （單點查詢+區間修改） http://codevs.cn/problem/1081/

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,p,a,b,m,x,ans;
struct node
{
    int l,r,w,f;
}tree[400001];
inline void build(int k,int ll,int rr)
{
    tree[k].l=ll,tree[k].r=rr;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%d",&tree[k].w);
        return;
    }
    int m=(ll+rr)/2;
    build(k*2,ll,m);
    build(k*2+1,m+1,rr);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
inline void down(int k)
{
    tree[k*2].f+=tree[k].f;
    tree[k*2+1].f+=tree[k].f;
    tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);
    tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);
    tree[k].f=0;
}
inline void add(int k)
{
    if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)
    {
        tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;
        tree[k].f+=x;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(a<=m) add(k*2);
    if(b>m) add(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
inline void ask(int k)
{
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        ans=tree[k].w;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(x<=m) ask(k*2);
    else ask(k*2+1); 
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&p);
        if(p==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&x);
            add(1);
        }
        else
        {
            scanf("%d",&x);
            ask(1);
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
}

3、codevs 1082 線段樹練習3 （區間修改+區間查詢）

#include<cstdio>
using namespace std;
int n,p,a,b,m,x,y;
long long ans;
struct node
{
    long long l,r,w,f;
}tree[800001];
inline void build(int k,int ll,int rr)//建樹 
{
    tree[k].l=ll,tree[k].r=rr;
    if(tree[k].l==tree[k].r)
    {
        scanf("%d",&tree[k].w);
        return;
    }
    int m=(ll+rr)/2;
    build(k*2,ll,m);
    build(k*2+1,m+1,rr);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
inline void down(int k)//標記下穿 
{
    tree[k*2].f+=tree[k].f;
    tree[k*2+1].f+=tree[k].f;
    tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1);
    tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1);
    tree[k].f=0;
}
inline void ask_interval(int k)//區間查詢 
{
    if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) 
    {
        ans+=tree[k].w;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(a<=m) ask_interval(k*2);
    if(b>m) ask_interval(k*2+1);
}
inline void change_interval(int k)//區間修改 
{
    if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)
    {
        tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y;
        tree[k].f+=y;
        return;
    }
    if(tree[k].f) down(k);
    int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2;
    if(a<=m) change_interval(k*2);
    if(b>m) change_interval(k*2+1);
    tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n); 
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d",&p);
        ans=0;
        if(p==1) 
        {
             scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//區間修改 
             change_interval(1);
        }
        else 
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);//區間查詢 
            ask_interval(1);
            printf("%lld\n",ans);
        }
    
    }
}

六、經典例題

> codevs 3981/SPOJ GSS1/GSS3 ——區間最大子段和
> Bzoj3813 奇數國——區間內某個值是否出現過
>洛谷 P2894 酒店 Hotel ——區間連續一段空的長度
> codevs 2421 /Bzoj1858 序列操作——多種操作
> codevs 2000 / BZOJ 2957: 樓房重建——區間的最長上升子序列
Codevs3044 矩形面積求並——掃描線

代碼的話到隨筆分類——線段樹裏找找吧 http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/category/933602.html

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