伽馬分佈，指數分佈，泊松分佈的關係 -轉自簡書

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伽馬分佈，指數分佈，泊松分佈的關係

 thinkando 關注

2018.09.25 21:13* 字數 714 閱讀 2909評論 0喜歡 10

1. 從意義上看：

1. 指數分佈解決的問題是“要等到一個隨機事件發生，需要經歷多久時間”
2. 伽瑪分佈解決的問題是“要等到n個隨機事件都發生，需要經歷多久時間”

所以，伽瑪分佈可以看作是n個指數分佈的獨立隨機變量的加總，即，n個Exponential(λ)random variables--->Gamma(n,λ）

1. 泊松分佈解決的是“在特定時間裏發生n個事件的機率”。

2. 公式

1. 泊松分佈

    

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上面就是泊松分佈的公式。等號的左邊，P 表示概率，N表示某種函數關係，t 表示時間，n 表示數量，1小時內出生3個嬰兒的概率，就表示爲 P(N(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。

• 接下來兩個小時，一個嬰兒都不出生的概率是0.25%，基本不可能發生。

   

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• 接下來一個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是80%。

   

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• 泊松分佈的圖形

   

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1. 指數分佈

• 指數分佈解決的問題是“要等到一個隨機事件發生，需要經歷多久時間”

• 指數分佈的公式可以從泊松分佈推斷出來。如果下一個嬰兒要間隔時間 t ，就等同於 t 之內沒有任何嬰兒出生。

   

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• 反過來，事件在時間 t 之內發生的概率，就是1減去上面的值。

   

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• 接下來15分鐘，會有嬰兒出生的概率是52.76%。

   

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• 接下來的15分鐘到30分鐘，會有嬰兒出生的概率是24.92%。

   

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• 指數分佈的圖形

   

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可以看到，隨着間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生3個嬰兒，上面已經算過了，下一個嬰兒間隔2小時纔出生的概率是0.25%，那麼間隔3小時、間隔4小時的概率，是不是更接近於0？

1. 伽馬分佈

• 伽瑪分佈解決的問題是“要等到n個隨機事件都發生，需要經歷多久時間”

• 公式

   

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這裏a=n, 當a=1時，伽馬分佈就是指數分佈，所以伽馬分佈就是n個指數分佈的和

• 期望和方差

   

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• Gamma分佈中的參數α稱爲形狀參數（shape parameter），β稱爲尺度參數（scale parameter）。

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參考

1. https://www.zhihu.com/question/34866983
2. http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html