一些數學上的概念理解(持續更新qwq)

原創

6954717

2019-02-19 06:45

致敬百度百科qwq

本文摘自百度百科，只是對於信競範圍內的知識做一個小總結qwq，持續更新ing···

滿射:

如果每個可能的像至少有一個變量映射其上(即像集合B中的每個元素在A中都有一個或一個以上的原像)，或者說值域任何元素都有至少有一個變量與之對應，那這個映射就叫做滿射。

滿射或蓋射（英語：surjection、onto），或稱滿射函數或映成函數，一個函數爲滿射，則對於任意的陪域Y中的元素 y，在函數的定義域X中存在一點 x使得f(x)=y。換句話說, f是滿射時，它的值域f(X)與陪域Y相等，或者，等價地，如果每一個陪域中的元素其原像不等於空集合。

單射:

設f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),則稱f爲由A到B的單射。在數學裏，單射函數爲一函數，其將不同的引數連接至不同的值上。更精確地說，函數f被稱爲是單射時，對每一值域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y。另一種說法爲，f爲單射，當f(a) = f(b)，則a = b(若a≠b，則f(a)≠f(b))，其中a、b屬於定義域。單射在某些書中也叫入射，可理解成“原不同則像不同”。

雙射:

既是單射又是滿射的映射稱爲雙射，亦稱“一一映射”。

雙射(Bijection)的原理是一組關係，在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物，理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因爲具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的，所以需要抽象出他們的關係，找到這個雙射，如果找不到，並且驗證這個雙射不存在，那麼想法是不可能實現的。

康託展開：

康託展開是一個全排列到一個自然數的雙射，常用於構建哈希表時的空間壓縮。康託展開的實質是計算當前排列在所有由小到大全排列中的順序，因此是可逆的。

康託展開運算：

其中, 爲整數,並且

。

表示原數的第i位在當前未出現的元素中是排在第幾個

康託展開的逆運算：

既然康託展開是一個雙射，那麼一定可以通過康託展開值求出原排列，即可以求出n的全排列中第x大排列。

如n=5,x=96時：

首先用96-1得到95，說明x之前有95個排列.(將此數本身減去1)用95去除4! 得到3餘23，說明有3個數比第1位小，所以第一位是4.用23去除3! 得到3餘5，說明有3個數比第2位小，所以是4，但是4已出現過，因此是5.用5去除2!得到2餘1，類似地，這一位是3.用1去除1!得到1餘0，這一位是2.最後一位只能是1.所以這個數是45321。

按以上方法可以得出通用的算法。

莫比烏斯反演：

設