NP問題

數學上著名的NP問題，完整的叫法是NP完全問題，也即“NP COMPLETE”問題，簡單的寫法，是 NP=P？的問題。問題就在這個問號上，到底是NP等於P，還是NP不等於P。證明其中之一，便可以拿百萬美元大獎。
    這個獎還沒有人拿到，也就是說，NP問題到底是Polynomial，還是Non-Polynomial，尚無定論。
　　NP裏面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是對的。NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式複雜程度的非確定性問題。
　　美國麻州的克雷(Clay)數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣佈了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千僖年數學難題”的每一個懸賞一百萬美元。以下是這七個難題。
　　“千僖難題”之一： P (多項式算法)問題對NP (非多項式算法)問題
　　“千僖難題”之二： 霍奇(Hodge)猜想
　　“千僖難題”之三： 龐加萊(Poincare)猜想
　　“千僖難題”之四： 黎曼(Riemann)假設
　　“千僖難題”之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
　　“千僖難題”之六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
　　“千僖難題”之七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
　　NP完全問題排在百萬美元大獎的首位，足見他的顯赫地位和無窮魅力。
NP就是Non-deterministic Polynomial的問題，也即是多項式複雜程度的非確定性問題。
　　什麼是非確定性問題呢？有些計算問題是確定性的，比如加減乘除之類，你只要按照公式推導，按部就班一步步來，就可以得到結果。但是，有些問題是無法按部就班直接地計算出來。比如，找大質數的問題。有沒有一個公式，你一套公式，就可以一步步推算出來，下一個質數應該是多少呢？這樣的公式是沒有的。再比如，大的合數分解質因數的問題，有沒有一個公式，把合數代進去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也沒有這樣的公式。
　　這種問題的答案，是無法直接計算得到的，只能通過間接的“猜算”來得到結果。這也就是非確定性問題。而這些問題的通常有個算法，它不能直接告訴你答案是什麼，但可以告訴你，某個可能的結果是正確的答案還是錯誤的。這個可以告訴你“猜算”的答案正確與否的算法，假如可以在多項式時間內算出來，就叫做多項式非確定性問題。而如果這個問題的所有可能答案，都是可以在多項式時間內進行正確與否的驗算的話，就叫完全多項式非確定問題。
　　完全多項式非確定性問題可以用窮舉法得到答案，一個個檢驗下去，最終便能得到結果。但是這樣算法的複雜程度，是指數關係，因此計算的時間隨問題的複雜程度成指數的增長，很快便變得不可計算了。
　　人們發現，所有的完全多項式非確定性問題，都可以轉換爲一類叫做滿足性問題的邏輯運算問題。既然這類問題的所有可能答案，都可以在多項式時間內計算，人們於是就猜想，是否這類問題，存在一個確定性算法，可以在指數時間內，直接算出或是搜尋出正確的答案呢？這就是著名的NP=P？的猜想。
　　解決這個猜想，無非兩種可能，一種是找到一個這樣的算法，只要針對某個特定NP完全問題找到一個算法，所有這類問題都可以迎刃而解了，因爲他們可以轉化爲同一個問題。另外的一種可能，就是這樣的算法是不存在的。那麼就要從數學理論上證明它爲什麼不存在。
　　前段時間轟動世界的一個數學成果，是幾個印度人提出了一個新算法，可以在多項式時間內，證明某個數是或者不是質數，而在這之前，人們認爲質數的證明，是個非多項式問題。可見，有些看來好象是非多項式的問題，其實是多項式問題，只是人們一時還不知道它的多項式解而已。
　　上回說到可憐的旅行商想找出走遍所有城市的最短路徑。讓我們用計算機幫他搜索一下。這就需要用到本篇文章中要介紹的第一門學科了：《人工智能》。人類的許多活動，如解算題、猜謎語、進行討論、編制計劃和編寫計算機程序，甚至駕駛汽車和騎自行車等等，都需要"智能"。如果機器能夠執行這種任務，就可以認爲機器已具有某種性質的"人工智能"。現在我們就要利用人工智能，用計算機模擬人的思維來搜索最短路徑。
　　想像一下，我們人思考問題時，有兩種方法：一種是精確搜索，就是試驗所有的可能性，找出最精確的一個方案。但它在搜索過程中不改變搜索策略，不利用搜索獲得的中間信息，它盲目性大，效率差，用於小型問題還可以，用於大型問題根本不可能；另一種叫做啓發式搜索，它在搜索過程中加入了與問題有關的啓發性信息，用以指導搜索向着一個比較小的範圍內進行，加速獲得結果。