一、平衡二叉樹（ AVL樹 ）
1、定義：AVL樹又稱爲高度平衡的二叉搜索樹，是1962年有俄羅斯的數學家G.M.Adel'son-Vel'skii和E.M.Landis提出來的。它能保持二叉樹的高度平衡，儘量降低二叉樹的高度，減少樹的平均搜索長度。
2、出現原因：搜索二叉樹若出現嚴重退化，查找或使用時會造成資源浪費。
3、特性：
AVL樹是一個三叉鏈；
左、右子樹的 | 高度之差| 不超過 1；
左右子樹都是AVL樹；
每個節點的平衡因子 = 右子樹高度 - 左子樹高度；（平衡因子：-1,1,0）
4、效率：
一棵AVL樹有N個節點，其高度可以保持在log2N，插入/刪除/查找的時間複雜度：log2N，即 O(lgN)。
二、AVL相關
1、右單旋
2、左單旋
3、右左單旋及左右單旋
根據左單旋、右單旋及樹的情況進行選擇，旋轉後需要更新平衡因子，以防失誤。
4、節點平衡因子的更新：
（1）插入節點的右孩子，及平衡因子bf++;左孩子，bf--;
（2）若插入節點後，計算得bf==0,則平衡，不需更新平衡因子；bf==1或-1，則需向上查看是否需要平衡因子；bf==2或-2,則根據情況進行旋轉，並更新平衡因子。
5、判斷AVL樹：
（1）計算左、右子樹高度，平衡因子；
（2）若平衡因子 < 2,即其子樹爲AVL樹；
三、源代碼
1、節點
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K,V> *_left;
AVLTreeNode<K,V> *_right;
AVLTreeNode<K,V> *_parent;
K _key;//權值
V _value;
int _bf;//平衡因子
AVLTreeNode(const K& key,const V& value)
:_key(key)
,_value(value)
,_left(NULL)
,_right(NULL)
,_parent(NULL)
{}
};2、AVL樹及相關實現
template<class K,class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K,V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(NULL)
{}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
cout<<endl;
}
int Height()
{
return _Height(_root);
cout<<endl;
}
void RotateR(Node *parent)//右旋
{
Node *subL=parent->_left;
Node *subLR=subL->_right;
parent->_left=subLR;
if(subLR)
subLR->_parent=parent;
subL->_right=parent;
Node *ppNode=parent->_parent;
parent->_parent=subL;
if(ppNode == NULL)
{
_root=subL;
subL->_parent=NULL;
}
else
{
if(ppNode->_left == parent)
ppNode->_left=subL;
else
ppNode->_right=subL;
subL->_parent=ppNode;
}
}
void RotateL(Node *parent)//左旋轉
{
Node *subR=parent->_right;
Node *subRL=subR->_left;
parent->_right=subR;
if(subRL)
subRL->_parent=parent;
subRL->_left=parent;
Node *ppNode=parent->_parent;
parent->_parent=subR;
if(ppNode == NULL)
{
_root=subR;
subR->_parent=NULL;
}
else
{
if(ppNode->_left == parent)
ppNode->_left=subR;
else
ppNode->_right=subR;
subR->_parent=ppNode;
}
}
void RotateRL(Node *parent)//右左旋轉
{
Node *subR=parent->_right;
Node *subRL=subR->_left;
int bf=subR->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
//更正平衡因子
if(bf == 1)
{
parent->_bf=-1;
subR->_bf=0;
}
else if(bf == -1)
{
parent->_bf=0;
subR->_bf=1;
}
else // 0
{
subR->_bf=parent->_bf=0;
subRL->_bf=0;
}
}
void RotateLR(Node *parent)//左右旋轉
{
Node *subL=parent->_left;
Node *subLR=subL->_right;
int bf=subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更正平衡因子
if(bf == 1)
{
parent->_bf=-1;
subL->_bf=0;
}
else if(bf == -1)
{
parent->_bf=0;
subL->_bf=1;
}
else // 0
{
subL->_bf=parent->_bf=0;
subLR=0;
}
}
bool Insert(const K& key,const V& value)
{
if(_root == NULL)
{
_root=new Node(key,value);
return true;
}
Node *cur=_root;
Node *parent=NULL;
while(cur)
{
if(cur->_key > key)
{
parent=cur;
cur=cur->_left;
}
else if(cur->_key < key)
{
parent=cur;
cur=cur->_right;
}
else
return false;
}
cur=new Node(key,value);
if(parent->_key < key)
parent->_right=new Node(key,value);
else
parent->_left=new Node(key,value);
//更新平衡因子
while(parent)
{
if(cur == parent->_right)
parent->_bf++;
else
parent->_bf--;
if(parent->_bf == 0) break; // 樹平衡
else if(parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur=parent;
parent=cur->_parent;
}
else // -2或2
{
//旋轉
if(parent->_bf == -2)
{
if(cur->_bf == -1)
RotateR(parent);//右旋轉
else // -2
RotateLR(parent);//左右旋轉
}
else // 2
{
if(cur->_bf == 1)
RotateL(parent);//左旋轉
else
RotateRL(parent);//右左旋轉
}
break;
}
}
return false;
}
protected:
void _InOrder(Node *root)
{
if(_root == NULL) return;
_InOrder(_root->_left);
cout<<_root->_key<<" ";
_InOrder(_root->_right);
}
int _Height(Node *root)
{
if(root == NULL) return 0;
int left=_Height(root->_left);
int right=_Height(root->_right);
return left > right ? left+1 : right+1;
}
protected:
Node *_root;
};3、總結：
AVL樹是對搜索二叉樹的進一步優化，根據平衡因子使搜索二叉樹高度平衡。其的插入、刪除、查找都和搜索二叉樹類似，只是需要注意平衡因子的問題。
AVL樹解決了搜索二叉樹的退化問題，需要注意樹的旋轉問題及平衡因子的更新問題。