最近在讀《深入理解計算機系統》(蘭德爾 E. 布萊恩特)，理解定點小數的補碼錶示時繞了些彎路，在這裏記下來，以作鞏固。
概念補充
補碼(Two's complement)、反碼(Ones' Complement)、原碼(Sign Magnitude)：
注意，補碼和反碼中，撇號的位置不同。
術語補碼來源於這樣一個情況，對於非負數x，我們用2ⁿ - x（這裏只有一個2）來計算-x的n位表示；
術語反碼來源於這樣一個屬性，我們用[111...1] - x（這裏有很多個1）來計算-x的反碼錶示。
原碼、反碼、補碼規則編碼的二進制形式的有符號數和其實際值的轉換公式：
假設有一個有符號的二進制的數據：
，則其所表示的實際值爲：
原碼：
反碼：
補碼：
定點小數
定點小數即純小數，小數點的位置固定在最高有效數位之前、符號位之後，如圖1所示。定點小數的小數點位置是隱含約定的，小數點並不需要真正地佔據一個bit。
當 Xs = 0 時，該小數爲正值，其原碼和補碼錶示的形式相同。
其中，
⑴ 絕對值最大的正小數爲：
其實際值等於（通過移項及合併同類項，可知該等式成立）：
⑵ 絕對值最小的正小數爲：
其實際值等於：
以8bit數爲例，最大正小數爲 0.111 1111 = 1 - 2⁻⁷；最小正小數爲 0.000 0001 = 2⁻⁷
當 Xs = 1 時，該小數爲負值，有原碼和補碼兩種表示形式（以下形式包含Xs位）。
⑴ 絕對值最大的負小數
① 原碼錶示
② 補碼錶示
⑵ 絕對值最小的負小數
① 原碼錶示
② 補碼錶示
可見，定點負小數的原碼錶示範圍爲: -(1 - 2⁻ⁿ) ~ -2⁻ⁿ；其補碼錶示範圍爲：-1 ~ -2⁻ⁿ。且n值越大，精度越高。