在開始之前，首先看一下最終成型的代碼：
- 分支與特徵後端（https://github.com/OneRaynyDay/autodiff/tree/eigen）
- 僅支持標量的分支（https://github.com/OneRaynyDay/autodiff/tree/master）
這個項目是我與 Minh Le 一起完成的。
爲什麼？
如果你修習的是計算機科學（CS）的人的話，你可能聽說過這個短語「不要自己動手____」幾千次了。它包含了加密、標準庫、解析器等等。我想到現在爲止，它也應該包含了機器學習庫（ML library）。
不管現實是怎麼樣的，這個震撼的課程都值得我們去學習。人們現在把 TensorFlow 和類似的庫當作理所當然了。他們把它看作黑盒子並讓它運行起來，但是並沒有多少人知道在這背後的運行原理。這只是一個非凸（Non-convex）的優化問題！請停止對代碼無意義的胡搞——僅僅只是爲了讓代碼看上去像是正確的。
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TensorFlow
在 TensorFlow 的代碼裏，有一個重要的組件，允許你將計算串在一起，形成一個稱爲「計算圖」的東西。這個計算圖是一個有向圖 G=(V,E)，其中在某些節點處 u1,u2,…,un,v∈V，和 e1,e2,…,en∈E，ei=(ui,v)。我們知道，存在某種計算圖將 u1,…,un 映射到 vv。
舉個例子，如果我們有 x + y = z，那麼 (x,z)，(y,z)∈E。
這對於評估算術表達式非常有用，我們能夠在計算圖的匯點下找到結果。匯點是類似 v∈V，∄e=(v,u) 這樣的頂點。從另一方面來說，這些頂點從自身到其他頂點並沒有定向邊界。同樣的，輸入源是 v∈V，∄e=(u,v)。
對於我們來說，我們總是把值放在輸入源上，而值也將傳播到匯點上。
反向模式求微分
如果你覺得我的解釋不正確，可以參考下這些幻燈片的說明。
微分是 Tensorflow 中許多模型的核心需求，因爲我們需要它來運行梯度下降。每一個從高中畢業的人都應該知道微分的意思。如果是基於基礎函數組成的複雜函數，則只需要求出函數的導數，然後應用鏈式法則。
超級簡潔的概述
如果我們有一個像這樣的函數：
對 x 求導：
對 y 求導：
其它的例子：
其導數是：
所以其梯度是：
鏈式法則，例如應用於 f(g(h(x)))：
在 5 分鐘內倒轉模式
所以現在請記住我們運行計算圖時用的是有向無環結構（DAG/Directed Acyclic Graph），還有上一個例子用到的鏈式法則。正如下方所示的形式：
x -> h -> g -> f
作爲一個圖，我們能夠在 f 獲得答案，然而，也可以反過來：
dx <- dh <- dg <- df
這樣它看起來就像鏈式法則了！我們需要沿着路徑把導數相乘以得到最終的結果。這是一個計算圖的例子：
這就將其簡化爲一個圖的遍歷問題。有誰察覺到了這就是拓撲排序和深度優先搜索／寬度優先搜索？
沒錯，爲了在兩種路徑都支持拓撲排序，我們需要包含一套父組一套子組，而匯點是另一個方向的來源。反之亦然。
執行
在開學前，Minh Le 和我開始設計這個項目。我們決定使用特徵庫後端（Eigen library backend）進行線性代數運算，這個庫有一個叫做 MatrixXd 的矩陣類，用在我們的項目中：
class var {// Forward declarationstruct impl;public:
// For initialization of new vars by ptr var(std::shared_ptr<impl>);
var(double);
var(const MatrixXd&);
var(op_type, const std::vector<var>&);
...
// Access/Modify the current node value MatrixXd getValue() const;
void setValue(const MatrixXd&);
op_type getOp() const;
void setOp(op_type);
// Access internals (no modify) std::vector<var>& getChildren() const;
std::vector<var> getParents() const;
...private:
// PImpl idiom requires forward declaration of the class: std::shared_ptr<impl> pimpl;};struct var::impl{public:
impl(const MatrixXd&);
impl(op_type, const std::vector<var>&);
MatrixXd val;
op_type op;
std::vector<var> children;
std::vector<std::weak_ptr<impl>> parents;};在這裏，我們使用了一個叫「pImpl」的語法，意思是「執行的指針」。它有很多用途，比如接口的解耦實現，以及當在堆棧上有一個本地接口時實例化內存堆上的東西。「pImpl」的一些副作用是微弱的減慢運行時間，但是編譯時間縮短了很多。這允許我們通過多個函數調用/返回來保持數據結構的持久性。像這樣的樹形數據結構應該是持久的。
我們有一些枚舉來告訴我們目前正在進行哪些操作：
enum class op_type {
plus,
minus,
multiply,
divide,
exponent,
log,
polynomial,
dot,
...
none // no operators. leaf.};
執行此樹的評估的實際類稱爲 expression：
class expression {public:
expression(var);
...
// Recursively evaluates the tree. double propagate();
...
// Computes the derivative for the entire graph. // Performs a top-down evaluation of the tree. void backpropagate(std::unordered_map<var, double>& leaves);
... private:
var root;};
在反向傳播裏，我們的代碼能做類似以下所示的事情：
backpropagate(node, dprev):
derivative = differentiate(node)*dprev
for child in node.children:
backpropagate(child, derivative)
這幾乎就是在做一個深度優先搜索（DFS），你發現了嗎？
爲什麼是 C++？
在實際過程中，C++可能並不適合做這類事情。我們可以在像「Oaml」這樣的函數式語言中花費更少的時間開發。現在我明白爲什麼「Scala」被用於機器學習中，主要就是因爲「Spark」。然而，使用 C++有很多好處。
Eigen（庫名）
舉例來說，我們可以直接使用一個叫「Eigen」的 TensorFlow 的線性代數庫。這是一個不假思索就被人用爛了的線性代數庫。有一種類似於我們的表達式樹的味道，我們構建表達式，它只會在我們真正需要的時候進行評估。然而，使用「Eigen」在編譯的時間內就能決定什麼時候使用模版，這意味着運行的時間減少了。我對寫出「Eigen」的人抱有很大的敬意，因爲查看模版的錯誤幾乎讓我眼瞎！
他們的代碼看起來類似這樣的：
Matrix A(...), B(...);
auto lazy_multiply = A.dot(B);
typeid(lazy_multiply).name(); // the class name is something like Dot_Matrix_Matrix.
Matrix(lazy_multiply); // functional-style casting forces evaluation of this matrix.
這個特徵庫非常的強大，這就是它作爲 TensortFlow 主要後端之一的原因，即除了這個慵懶的評估技術之外還有其它的優化。
運算符重載
在 Java 中開發這個庫很不錯——因爲沒有 shared_ptrs、unique_ptrs、weak_ptrs；我們得到了一個真實的，有用的圖形計算器（GC=Graphing Calculator）。這大大節省了開發時間，更不必說更快的執行速度。然而，Java 不允許操作符重載，因此它們不能這樣：
// These 3 lines code up an entire neural network!
var sigm1 = 1 / (1 + exp(-1 dot(X, w1)));
var sigm2 = 1 / (1 + exp(-1 dot(sigm1, w2)));
var loss = sum(-1 (y log(sigm2) + (1-y) * log(1-sigm2)));
順便說一下，上面是實際使用的代碼。是不是非常的漂亮？我想說的是這甚至比 TensorFlow 裏的 Python 封裝還更優美！我只是想表明，它們也是矩陣。
在 Java 中，有一連串的 add(), divide() 等等是非常難看的。更重要的是，這將讓用戶更多的關注在「PEMDAS」上，而 C++的操作符則有非常好的表現。
特徵，而不是一連串的故障
在這個庫中，可以確定的是，TensorFlow 沒有定義清晰的 API，或者有但我不知道。例如，如果我們只想訓練一個特定子集的權重，我們可以只對我們感興趣的特定來源做反向傳播。這對於卷積神經網絡的遷移學習非常有用，因爲很多時候，像 VGG19 這樣的大型網絡可以被截斷，然後附加一些額外的層，這些層的權重使用新領域的樣本來訓練。
基準
在 Python 的 TensorFlow 庫中，對虹膜數據集進行 10000 個「Epochs」的訓練以進行分類，並使用相同的超參數，我們有：
1.TensorFlow 的神經網絡： 23812.5 ms
2.「Scikit」的神經網絡：22412.2 ms
3.「Autodiff」的神經網絡，迭代，優化：25397.2 ms
4.「Autodiff」的神經網絡，迭代，無優化：29052.4 ms
5.「Autodiff」的神經網絡，帶有遞歸，無優化：28121.5 ms
令人驚訝的是，Scikit 是所有這些中最快的。這可能是因爲我們沒有做龐大的矩陣乘法。也可能是 TensorFlow 需要額外的編譯步驟，如變量初始化等等。或者，也許我們不得不在 python 中運行循環，而不是在 C 中（Python 循環真的非常糟糕！）我自己也不是很確定。我完全明白這絕不是一種全面的基準測試，因爲它只在特定的情況下應用了單個數據點。然而，這個庫的表現並不能代表當前最佳，所以希望各位讀者和我們共同完善