約瑟夫環的遞歸遞推問題

關於約瑟夫環的探討：課堂上學習的約瑟夫環是一個相對較麻煩的方法，而相對精簡的是遞歸的方式。

int josephus(int n, int m) {
	if(n == 1) {
		return 0;
	}
	else {
		return (josephus(n-1, m) + m) % n;
	}
}
 
int main() {
	int n, m;
	while (cin>>n) {
		if (!n) {
			break;
		}
		cin>>m;
		int result = josephus(n, m);
		cout<<result+1<<endl;
	}
	return 0;
}

遞歸相對比較簡單，並沒有使用數組結構來一個一個反映出每一局出局的人，而是直接通過遞歸得到了最終的結果。但是如此遞歸仍然不夠簡單。我們知道約瑟夫環問題本質上是一個數學問題，那麼可以使用數學的遞推思想來解決這樣一個問題。這與遞歸十分相似但更爲簡單，省去了遞歸的步驟，雖然方法類似，但由於遞歸調用函數會使時間增長，所以直接使用數學方法使用for循環時間是更爲精簡的。
int n;//共n個人
int m;//密碼爲m
Int a;//勝利者下表爲a
//下標爲0~n-1，方便取模計算。
假設此時m爲3，若11個人時6號活了下來，則當只有十個人的情況時，還可以認爲仍然是這個聰明人活了下來，但是他的編號向前移動了三個，因爲10個人相當於是11個人中的2號（第三個）出局了，所以此時勝利者下標-3，所以這個聰明人在只有十個人時應該是3號。 反之，每多一個人，這個人想要活下去就要讓自己的下標+3，當超過n-1時進行取模回到前面，這樣便可以得到遞推表達式：a=f(n,m)=[f(n-1,m)+m]%n;
由於只有一個人時勝利者爲0號，所以a從0開始，即：

for(int i=2;i<=n;i++)//對一個人沒有討論意義，故從2開始
    a=(a+m)%i;