Deepgener生信教程《生信中的統計基礎》——抽樣分佈②

Deepgener生信教程《生信中的統計基礎》——抽樣分佈②

介紹：

本次課程接着上一次課程接着介紹單個樣本方差的抽樣分佈以及兩個樣本的抽樣分佈。統計學的核心是用樣本推斷總體，用樣本的特點去概括總體的特點。本文對$\chi ^2$分佈簡要做一個概述，並依據$\chi ^2$分佈得出樣本方差的抽樣分佈，分析方法如下圖所示。然後從一個樣本推廣至兩個樣本進行抽樣分佈分析。

1. $\chi ^2$分佈

設 $Z_1$，$Z_2$ ，…$Z_n$， 相互獨立且都爲標準正態隨機變量，則變量 服從自由度爲n的$\chi ^2$ 分佈。$\chi ^2$ 具有可加性，其與自由度的關係可表現爲：$S^2=Z_1^2+Z_2^2+...Z_n^2$。若 $Y$ ~ $\chi ^2(n)$、$Z$ ~ $\chi ^2(m)$ ，且相互獨立，則 $Y+Z$ ~ $\chi ^2(n+m)$。

2. 單樣本方差抽樣分佈

樣本方差的抽樣分佈是在重複選取容量爲n的樣本時，由樣本方差的所有可能取值形成的相對頻數分佈。對於來自正態總體的簡單隨機樣本，其標準化式子服從自由度爲n-1的$\chi ^2$分佈。

其上側分位數與概率的關係可以查閱 $\chi ^2$分佈表。（百度即可）

3. 兩個樣本均值的抽樣分佈

設存在兩個服從正態分佈的總體 $X1$~$N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $X2$~$N(\mu_2,\sigma_2^2)$

(1) 兩個樣本均值之差的抽樣分佈

樣本均值之差的抽樣分佈服從正態分佈，其數學期望爲兩個總體均值的差，方差爲各自方差的和。

(2) 兩個樣本均值之和的抽樣分佈

樣本均值之和的抽樣分佈服從正態分佈，其數學期望爲兩個總體均值的和，方差爲各自方差的和。

4. 兩個樣本方差之比的抽樣分佈與F分佈、

若 $Y$ ~ $\chi ^2(n)$、$Z$ ~ $\chi ^2(m)$ 、$X=\frac{Y/n}{Z/m}$ ，則稱X服從自由度爲n和m的F分佈，記爲：

通過數學家的演算證明，兩個樣本方差之比的抽樣分佈與自由度有如下關係：設存在兩個服從正態分佈的總體 $X1$~$N(\mu_1,\sigma_1^2)$, $X2$~$N(\mu_2,\sigma_2^2)$

課程預告：進行統計推斷基礎的介紹，並對前兩次課“抽樣分佈”部分舉例題進行講解，深化理解。

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