貪心算法訓練(三)——最小生成樹

• 問題描述
  • 求一個連通無向圖的最小生成樹的代價(圖邊權值爲正整數)
• 輸入
  • 第一行是一個整數 N (1 <= N <= 20) ，表示有多少個圖需要計算，以下有 N 個圖，第 i 圖的第一行是一個整數 M (1 <= M <= 50) ，表示圖的頂點數，第 i 圖的第 2 行至 1+M 行爲一個 M*M 的二維矩陣，其元素 ai，j 表示圖的 i 頂點和 j 頂點的連接情況，如果 ai ，j = 0，表示 i 頂點和 j 頂點不相連，如果 ai ，j > 0，表示 i 頂點和 j 頂點的連接權值
• 輸出
  • 每個用例，用一行輸出對應圖的最小生成樹的代價
• 樣例輸入

      1
      6
      0 6 1 5 0 0
      6 0 5 0 3 0 
      1 5 0 5 6 4
      5 0 5 0 0 2
      0 3 6 0 0 6
      0 0 4 2 6 0

• 樣例輸出
  15
• Kruskal 算法
  • 對於一個 N*N 矩陣，先構造 N 個沒有連接的頂點，按邊權值大小從小到大選擇頂點，連接不同的生成樹，一條邊連接 2 個頂點，那麼這兩個頂點就在同一顆樹上，要保證每次連接的樹都是不同的，直到只剩下一顆樹爲止，假如現有一條邊連接了 A，B 兩個頂點，另一條連接了 B，C 頂點，那麼 A，B，C在同一顆樹上， A，C 不能再被邊連接，同樣， C 頂點連接的其他頂點也不能和 A 相連，那麼如何做出這樣的判斷呢？
• 算法設計
  • 對邊權值從小到大排序，採用鏈式結構，每個節點存儲邊連接的左右端點
  • 判斷邊的加入是否構成了環，如果構成了環，那麼這條邊的加入是不合理的
• 代碼

    #include<iostream>
    
    using namespace std;
    
    struct Node
    {
        int l;
        int r;
        int len;
        Node *next;
    };
    
    void insert(Node *&head,Node *p);
    
    int main()
    {
        Node *head,*p;
        int n,m,x,temp;
        int *a;
        int i,j;
        int sum;
        cin>>n;
        while(n--)
        {
            sum = 0;
            cin>>m;
            a = new int[m+1];
            for (i = 1; i <= m; i++)
            {
                a[i] = i;               //各端點自爲一組
            }
            head = new Node;
            p = head;
            p->next = NULL;
            for (i = 1; i <= m; i++)
                for (j = 1; j <= m; j++)
                {
                    cin>>x;
                    if (i > j && x != 0)   //對稱矩陣
                    {
                        p=new Node;
                        p->l = i;
                        p->r = j;
                        p->len = x;
                        p->next = NULL;
                        insert(head,p);
                    }
                }
            p = head->next;
            while (p)
            {
                if (a[p->l] != a[p->r])  //判斷是否爲同一組
                {
                    sum += p->len;
                    temp = a[p->l];       //記錄左端點
                    for(i = 1; i <= m; i++)
                        if (a[i] == temp)   //找到原左端點的值
                        {
                            a[i] = a[p->r]; //將左端點的值改爲和右端點一致
                        }
                }
                p = p->next;
            }
            cout<<sum<<endl;
        }
        return 0;
    }
    
    void insert(Node *&head,Node *p)
    {
        Node *q = head;
        while(q->next && q->next->len <= p->len)  //從頭結點開始，大的放後面
        {
            q = q->next;
        }
        p->next = q->next;
        q->next = p;
    }