深搜的剪枝技巧(一)——樹的劃分(可行性剪枝、上下界剪枝)

本系列的開篇之作，先介紹一下剪枝的概念

一、什麼是剪枝

• 搜索的進程可以看成是從樹根出發，遍歷一顆倒置的樹——搜索樹的過程。剪枝就是通過某種判斷，避免一些不必要的遍歷過程

二、剪枝的原則

• 正確性
• 準確性
• 高效性

三、 深度優先搜索的優化技巧

• 優化搜索順序
• 排除等效冗餘
• 可行性剪枝
• 最優性剪枝
• 記憶化

四、樹的劃分(可行性剪枝、上下界剪枝)

• 問題描述——將整數 n 劃分成 k 份，且每份不能爲空，問有多少種不同的分法？當 n = 7，k = 3 時，下面三種分法被認爲是相同的，1,1,5；1,5,1；5,1,1。

• 輸入格式——輸入文件只有一行，爲兩個整數 n 和 k(\(6 < n \leq 200，2 \leq k \leq 6\))

• 輸出格式——輸出文件只有一行，爲一個整數，即不同的分法數

• 樣例輸入

  7 3

• 樣例輸出

  4

• 樣例解釋—— 4 種分法爲 1,1,5；1,2,4；1,3,3；2,2,3

• 思路分析——將數字 n 劃分成 k 份，就是求 \(x_1 + x_2+...+x_k = n\) 方程的解，依次枚舉 \(x_1到x_k\) 的值，然後判斷

• 剪枝分析

  • 由於分解數不考慮順序，因此設定分解數依次遞增，所以擴展結點時的“下屆”應是不小於前一個擴展結點的值，即 \(a[i-1] \leq a[i]\)
  • 假設我們將 n 已經分解成了 \(a[1] + a[2]+ ...+a[i-1]\)，則 \(a[i]\) 的最大值爲將 i~k 這 k-i+1 份平均劃分，即設 \(m = n-(a[1]+a[2]+...+a[i-1])\)，則 \(a[i]\leq m/(k-i+1)\)，所以擴展結點的“上屆”是 \(\frac{m}{k-i+1}\)

• 代碼：

  #include <iostream>
  
  using namespace std;
  
  int n,m,a[8],s= 0;
  
  void Solve(int k);
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
      a[0] = 1;
      Solve(1);
      cout<<s<<endl;
      return 0;
  }
  void Solve(int k)
  {
      if(n == 0)
          return;
      if(k == m)
      {
          if(n >= a[k-1])
              s++;
          return;
      }
      for(int i = a[k-1];i<=n/(m-k+1);i++)
      {
          a[k] = i;
          n -= i;
          Solve(k+1);
          n += i;
      }
  }