兩種方法推導二維旋轉矩陣

紅色線標識單位向量Vector，Vector逆時針旋轉θ得到藍色線標識單位向量Vector'，該過程旋轉矩陣應如何推導。

兩種方法：

1.數學推導，

已知，Vector(x,y) = (cosα，sinα)；

Vector' (x',y')= (cos(α+θ)，sin(α+θ))

            =(cosα*cosθ-sinα*sinθ, sinα*cosθ+cosα*sinθ)

            =(x*cosθ-y*sinθ, y*cosθ+x*sinθ)

若表示爲矩陣乘列向量形式，矩陣爲：

cosθ   -sinθ

sinθ    cosθ

若標識爲行向量乘矩陣形式，矩陣爲：

cosθ   sinθ    

-sinθ   cosθ，

2.幾何推導，

Vector逆時針旋轉θ，相當於Vector位置不變，座標系順時針旋轉θ，求Vector在新座標系中表示，

那麼問題即轉化爲求同一向量在不同座標系之間的轉換矩陣，

已知Vector在原始座標系csOld下爲(x,y)，求Vector在新座標系csNew下描述。

已知，csOld的X方向在csNew下爲(cosθ，sinθ)，Y方向在csNew下爲(-sinθ，cosθ)，

而Vector在csOld的X方向分量爲x，在csOldY方向上分量爲y，即可得

x在csNew下爲x*(cosθ，sinθ)，y在csNew下爲y*(-sinθ，cosθ)，

那麼Vector在csNew下爲(x*cosθ-y*sinθ，x*sinθ+y*cosθ)，同樣可得，

若表示爲矩陣乘列向量形式，矩陣爲：

cosθ   -sinθ

sinθ    cosθ

若標識爲行向量乘矩陣形式，矩陣爲：

cosθ   sinθ    

-sinθ   cosθ。