引言：最近刷數據結構的題，刷到一組元素入棧，他的出棧順序有可能是哪些時卡住，之前沒有關注此類問題，便寫下總結
先通過幾個例題講解下出棧順序問題
1.
一個棧的入棧序列是a,b,c,d,e則棧的不可能的輸出序列是：（）
A edcba B decba C dceab D abcde
棧之根本——後進先出（Last In First Out , LIFO）初次接觸到這個問題的人，或許會認爲入棧abcde，所以出棧只能是edcba所以BCD都不對。
其實是這個問題描述有歧義，應該是分段入棧的順序，也就是說，可能先入棧a，取出a，入棧b，取出b……，所以D也是可能的。
知道這個意思了以後，就要明確這個問題的矛盾根本所在：第一次出棧d，說明什麼？說明a，b，c一定早已入棧（入棧順序決定的）。那麼在出棧d以後，a，b，c的出棧順序一定是c，b，a，而不用理會中間穿插着出棧了d後面的字符（因爲可以再入棧，再出棧嘛）。所以立即選中C，不用猶豫，理由簡單：d出棧了，abc一定已經入棧，那麼abc只能以cba的順序出棧，C不符合，OK！
舉一個更加直觀的例子：
如棧順序是：1 2 3 4 ，如何正確理解出棧？
（1）入棧順序是1 2 3 4，就是指這四個數依次入棧：
數據4入棧之前，1 2 3肯定已經入棧了；
數據3入棧之前，1 2肯定已經入棧了，而4還沒入棧；
數據2入棧之前，1肯定已經入棧了，而2 3 4還沒入棧；
數據1最先入棧，2 3 4還沒入棧。
（2）既然入棧順序是1 2 3 4，3 4入棧的時候，1 2 肯定已經入棧了，怎麼會在後面再入棧。
（3）先拿4 3 1 2這個出棧序列來說，4最先出來，說明此時1 2 3（底到頂順序）還都在棧中；接下來只有3能出棧，3出來後，棧中爲1 2（底到頂順序）；再接下來只有2能出棧，所以如果出棧序列前兩個是4 3的話，後兩個只能是2 1。再看個正確的出棧序列：2 4 3 1；2最先出來，說明它出來時，3 4還沒入棧，而1已入棧且還在棧中；接着是4出來，說明此時3也在棧中（3要比4先入棧），此時棧中有1 3（底到頂順序）；然後只能
總之，挨個看出棧序列的數據，根據入棧順序，分析它出來時，棧中應該還有誰，而有誰還沒入棧，然後分析此時可不可能是它出棧。
下面針對藍橋杯問題，編程來進行分析。
題目：
X星球特別講究秩序，所有道路都是單行線。一個甲殼蟲車隊，共16輛車，按照編號先後發車，夾在其它車流中，緩緩前行。
路邊有個死衚衕，只能容一輛車通過，是臨時的檢查站，如圖所示。
X星球太死板，要求每輛路過的車必須進入檢查站，也可能不檢查就放行，也可能仔細檢查。
如果車輛進入檢查站和離開的次序可以任意交錯。那麼，該車隊再次上路後，可能的次序有多少種？
爲了方便起見，假設檢查站可容納任意數量的汽車。
顯然，如果車隊只有1輛車，可能次序1種；2輛車可能次序2種；3輛車可能次序5種。
現在足足有16輛車啊，親！需要你計算出可能次序的數目。
分析題意：此題的類型爲N個元素的出棧問題，題意爲16個元素的出棧順序有多少種。
我們把n個元素的出棧個數的記爲f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：
f(1)= 1 //即 1
f(2)= 2 //即 12、21
f(3)= 5 //即 123、132、213、321、231
然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號爲a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。
分析：
1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；
2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)， 根據乘法原理，一共的順序個數爲f(1)* f(2)；
3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，
根據乘法原理，一共的順序個數爲f(2) * f(1)；
4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即 f(3)；
結合所有情況，即f(4) = f(3) +f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
爲了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫爲：
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1)+ f(3)*f(0)
然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... +f(n-1)*f(0)
即
方法二：
但這只是一個遞推公式（若編程實現，需要維護一個一維數組，時間複雜度爲O(n^2)）。怎麼把它轉化爲通項公式呢，複雜度僅爲O(1)?
於是上網搜索一下，原來真的有這麼一個公式：C(2n,n)/(n+1) （C(2n,n)表示2n裏取n），並且有個名字叫Catalan數。附上wiki的鏈接，寫得太詳細了： http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number
現在的問題就是：怎麼從上述的遞推公式求出C(2n,n)/(n+1) ? 有興趣的朋友歡迎留言討論！
我抽象了下問題，在知乎上問了個問題，其中有一個答案提出了“折現法”，從幾何上推出了“n個元素進棧有多少個出棧順序”這個問題的答案是C(2n,n)-C(2n,n-1)，化簡一下即得Catalan number。推薦大家看一看。
代碼：
public class Main {
// 不用管出站後車的數量和順序，因爲進站順序和出站順序已經決定出站時的排序
static int fun(int a, int b) {// a是等待進站的數目，b是站中的數目
if (a == 0)// 此時已全部進站，出站時的順序只有一種
return 1;
if (b == 0)// 此時車站爲空，只能讓車進站
return fun(a - 1, 1);
// 有兩種走法：1、讓一輛車進站 ；2、讓一輛車出站
return fun(a - 1, b + 1) + fun(a, b - 1);
}
static int fun(int a) {
return fun(a, 0);
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fun(16));
}
}
答案：35357670