「AHOI2013」 連通圖 - 線段樹分治+並查集

題目描述

給定一個連通的無向圖和若干個小集合，每個小集合包含一些邊。對於每個集合，你需要確定將集合中的邊從原來的無向圖中刪除後該圖是否保持連通。

一個圖是連通的當且僅當任意兩個不同的點之間存在一條路徑連接他們。

輸入格式

輸入的第一行包含兩個整數n和m(1<=n<=10000, 1<= m <= 100000)，表示無向圖的點數和邊數，每個點從1到n標號。

接下來的m行表示圖的每條邊，每行包含兩個整數a和b——一條邊連接的兩個端點的標號。保證每對頂點最多被一條邊連接。沒有一條邊連接兩個相同的頂點。每條邊按照輸入的順序標號爲1到m。

接下來的一行包含一個整數k(1<=k<=100000)，表示需要測試的小集合的個數。接下來的k行每行描述一個小集合。每行的第一個數c(1<=c<=4)表示集合中邊的個數，接下來有c個整數表示集合中邊的標號，保證集合中的整數互不相同。

輸出格式

輸出k行，每行對應一個小集合的測試結果。

第i行包含“Connected”（沒有引號），如果給定的圖去掉對應的集合中的邊仍然連通，否則應該包含一個“Disconnected”。

分析

對於第$i$個時間的詢問，其中的每一條邊可以看是在前面某次詢問中有這條邊之後一直沒有詢問這條邊，設這條邊爲$x$，時間點爲$j$。那麼題目可以轉化爲一條邊$x$在時間區間$[j,i-1]$存在，第$i$個時間點刪除，在第$i$個時間點查詢圖的連通性。這明顯是線段樹分治的模型，直接套上就行了。同樣用可撤銷並查集去維護。

需要提一點的是，這裏判斷整個圖是否連通可以用第一個節點的根的$size$判斷，即判斷$size[getf(1)]$是否等於$n$。

代碼

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
const int N=100005;
const int M=400005;
struct Edge {int x,y,op;}e[M];
int cnt,n,m,num;
int tm[M],q[M];
int f[N],sz[N],top;
vector<int> v[M<<2];
struct Stack {int x,y;}st[N];
void reset(){for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i,sz[i]=1;}//初始化 
int getf(int x){while (x^f[x]) x=f[x];return x;}//找父親 
bool Judge() {return sz[getf(1)]==n;}//判斷是否連通 
void merge(int x,int y) {//合併兩個集合 
	x=getf(x),y=getf(y);
	if (x==y) return;
	if (sz[x]>sz[y]) swap(x,y);
	f[x]=y;
	sz[y]+=sz[x];
	st[++top]=(Stack){x,y};
}
void undo(int k) {//撤銷到k次合併操作 
	while (top>k) {
		int x=st[top].x,y=st[top].y;
		top--;
		f[x]=x;
		sz[y]-=sz[x];
	}
}
void Add(int p,int l,int r,int L,int R,int x) {
	if (L<=l&&r<=R) {//完全包含,直接丟進vector中 
		v[p].push_back(x);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (L<=mid) Add(p<<1,l,mid,L,R,x);
	if (R>mid) Add(p<<1|1,mid+1,r,L,R,x);
}
void Solve(int p,int l,int r) {
	int si=v[p].size(),tp=top;
	for (int i=0;i<si;i++) {//依次添加 
		int x=e[v[p][i]].x,y=e[v[p][i]].y;
		merge(x,y);
	}
	if (l==r) {//葉子節點,判斷並輸出 
		if (q[l]) puts(Judge()?"Connected":"Disconnected");
	} else {
		int mid=(l+r)>>1;
		Solve(p<<1,l,mid);
		Solve(p<<1|1,mid+1,r);
	}
	undo(tp);//撤銷 
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++) {
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		e[i]=(Edge){u,v};
		tm[i]=1;
	}
	scanf("%d",&num);
	for (int i=2;i<=num+1;i++) {
		int c;
		scanf("%d",&c);
		for (int j=1;j<=c;j++) {
			int x;
			scanf("%d",&x);//直接加入時間線段樹中 
			Add(1,1,num+1,tm[x],i-1,x);
			tm[x]=i+1;
		}
		q[i]=1;
	}
	for (int i=1;i<=m;i++)
		if (tm[i]<=num+1)//對於沒有結束時間的邊特殊處理 
			Add(1,1,num+1,tm[i],num+1,i);
	reset();
	Solve(1,1,num+1);//遞歸直接輸出答案 
	return 0;
}