素數定理:
給出從整數中抽到素數的概率。從不大於n的自然數隨機選一個,它是素數的概率大約是1/ln n。也就是說在不大於n的自然數裏,總共的素數爲 n/lgn。
篩法:
用篩法求素數的基本思想是(本質上也能算是一種預處理):把從1開始的、某一範圍內的正整數從小到大順序排列, 1不是素數,首先把它篩掉。剩下的數中選擇最小的數是素數,然後去掉它的倍數。依次類推,直到篩子爲空時結束。如有:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30。
1不是素數,去掉。剩下的數中2最小,是素數,去掉2的倍數,餘下的數是:3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 。剩下的數中3最小,是素數,去掉3的倍數,如此下去直到所有的數都被篩完,求出的素數爲:2 3 5 7 11 13 17 19 23 29。
題目:第十萬零二個素數
請問,第100002(十萬零二)個素數是多少? 請注意:“2” 是第一素數,“3” 是第二個素數,依此類推。
代碼:
public class 第十萬零二個素數 {
public static void main(String[] args) {
long now = System.currentTimeMillis();
// nlognlogn
f(100002);
System.out.println("耗時:" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms");
/*============Java自帶的api==========*/
now = System.currentTimeMillis();
BigInteger bigInteger = new BigInteger("1");
for (int i = 1; i <= 100002; i++) {
bigInteger = bigInteger.nextProbablePrime();
}
System.out.println(bigInteger);
System.out.println("耗時:" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms");
/*==========樸素解法=========*/
now = System.currentTimeMillis();
int count = 0;
long x = 2;
while(count<100002){
if (isPrime(x)) {
count++;
}
x++;
}
System.out.println(x-1);
System.out.println("耗時:" + (System.currentTimeMillis() - now) + "ms");
}
public static boolean isPrime(long num){
for (int i = 2; i*i <= num; i++) {
if (num%i==0) {
return false;
}
}
return true;
}
/**
*
* @param N 第N個素
*/
private static void f(int N){
int n = 2;
// 自然數n之內的素數個數n/ln(n)
// 得到整數範圍
while(n/Math.log(n)<N){
n++;
}
int []arr = new int[n];
int x = 2;
while(x<n){
if (arr[x]!=0) {
x++;
continue;
}
int k=2;
//對每個x,我們從2倍開始,對x的k倍,全部標記爲-1
while(x*k<n){
arr[x*k] = -1;
k++;
}
x++;
}
// System.out.println(arr);
// 篩完之後,這個很長的數組裏面非素數下標對應的值都是-1
int sum = 0;
for (int i = 2; i < arr.length; i++) {
// 是素數,計數+1
if (arr[i] == 0) {
// System.out.println(i);
sum++;
}
if (sum == N) {
System.out.println(i);
return;
}
}
}
}
結果: