leetcode上遇到的題。
我們學了那麼多年的數學，做了那麼多年的乘法，卻不曾仔細總結其中的規律，至少是沒有用這種程序化的邏輯概括過。
這個計算過程想想也是很有意思，還是總結下。
以15*15=225爲例：
個位數是5*5=25，留5，進位2.
十位數稍微複雜點，有兩個乘法都是以他爲底，並且他還可能從個位得到進位，還需要進位給百位。
百位至少在本例簡單點，1*1是不用再進位了，但是也需要從十位得到一次進位。
所以15*15=225的乘法流程總結起來就是，從輸出結果的角度，以每個位（k）去找對應的以他爲底的乘法計算，直觀的說，k=1時（十位），前者的10乘以後者的5，後者的10乘以前者的5，他們是共享底位（十位）的。50+50=100，算上25進的那個20，結果就是120,120的1進給百位，百位的10*10=100，加上進位的100，就是200。每個位都得到，最後225。
其實總的來看，有點像二項式展開的意思。核心思想：你可以給每位一次性計算出所有結果並累加，然後進位，算其他位。
時間關係，不做圖囉嗦了，在紙上寫一下基本的乘法計算過程，很容易看出來，其他註釋寫到代碼中：
class Solution:
def multiply(self, num1, num2):
if num1 == '0' or num2 == '0':#有0就不用乘了。
return '0'
res = ''
carry = 0#初始化
# 兩個數的長度，分別都減1
m = len(num1) - 1
n = len(num2) - 1
# m和n都是len減1，是因爲，15*15中，不算被動進位，能用來主動計算乘法的，最高位就是百位，10*10=100，是主動計算的最高位。
# k就在[0,m+n]的區間：代表主動計算乘法的位（最後多出來的進位單獨給出）。k=0，i和j都是0,5*5，對應個位結果。
# k=1，i和j分別是0、1和1、0組合，是10和5或者5和10，對應十位的結果，
# k=2，i和j分別是1、1（其他組合不滿足篩選條件，我計算的就是百位，不能把5也拿來用吧，把乘法寫一下就出來了），代表10和10相乘，對應百位結果。
for k in range(m + n + 1):
print('k:',k)
# i是所有輸出位，包括k=m+n，不包括m+n+1，其實就是遍歷所有可能的num1和num2的單獨一位，做一個總的累加
# i、j他倆是嚴格針對k的互補關係。i = 時，j = 1；i = 1時，j = 0，他們都對應結果的“下標”k=1，也就是“十位”
sum = carry#先把進位計算進來（這個順序其實無所謂，但是如果不是先進位，就要給sum清零了）
for i in range(k + 1):#k其實就是結果位。i和j是根據k做的互補，嚴格對應一個結果底位。
j = k - i
if i <= m and j <= n:
index_i = m - i# 轉換，字符串形式，i=0其實代表的是最大的那個數，不是最小的，index_i纔是最小的數。
index_j = n - j
sum += int(num1[index_i]) * int(num2[index_j])#
# 拼接結果字符串，遍歷完當前k對應的所有i和j的組合，當前位的結果已經出爐，可以拼接了。比如15*15的最後一位5*5，是由當前位停留結果5和進位2組成的，當前結果就留在這。
res = str(sum % 10) + res#從低位向高位迭代，使用新的sum模，後加res的拼接方式。
carry = sum // 10#進位，5*5=25，進位2
if carry:#最後一位了，k迭代的是乘法計算，當然可能發生進位，比如33*44中，k是0到2，最高位3*4肯定要進位的
res = str(carry) + res
return res