leetcode上遇到的题。
我们学了那么多年的数学，做了那么多年的乘法，却不曾仔细总结其中的规律，至少是没有用这种程序化的逻辑概括过。
这个计算过程想想也是很有意思，还是总结下。
以15*15=225为例：
个位数是5*5=25，留5，进位2.
十位数稍微复杂点，有两个乘法都是以他为底，并且他还可能从个位得到进位，还需要进位给百位。
百位至少在本例简单点，1*1是不用再进位了，但是也需要从十位得到一次进位。
所以15*15=225的乘法流程总结起来就是，从输出结果的角度，以每个位（k）去找对应的以他为底的乘法计算，直观的说，k=1时（十位），前者的10乘以后者的5，后者的10乘以前者的5，他们是共享底位（十位）的。50+50=100，算上25进的那个20，结果就是120,120的1进给百位，百位的10*10=100，加上进位的100，就是200。每个位都得到，最后225。
其实总的来看，有点像二项式展开的意思。核心思想：你可以给每位一次性计算出所有结果并累加，然后进位，算其他位。
时间关系，不做图啰嗦了，在纸上写一下基本的乘法计算过程，很容易看出来，其他注释写到代码中：
class Solution:
def multiply(self, num1, num2):
if num1 == '0' or num2 == '0':#有0就不用乘了。
return '0'
res = ''
carry = 0#初始化
# 两个数的长度，分别都减1
m = len(num1) - 1
n = len(num2) - 1
# m和n都是len减1，是因为，15*15中，不算被动进位，能用来主动计算乘法的，最高位就是百位，10*10=100，是主动计算的最高位。
# k就在[0,m+n]的区间：代表主动计算乘法的位（最后多出来的进位单独给出）。k=0，i和j都是0,5*5，对应个位结果。
# k=1，i和j分别是0、1和1、0组合，是10和5或者5和10，对应十位的结果，
# k=2，i和j分别是1、1（其他组合不满足筛选条件，我计算的就是百位，不能把5也拿来用吧，把乘法写一下就出来了），代表10和10相乘，对应百位结果。
for k in range(m + n + 1):
print('k:',k)
# i是所有输出位，包括k=m+n，不包括m+n+1，其实就是遍历所有可能的num1和num2的单独一位，做一个总的累加
# i、j他俩是严格针对k的互补关系。i = 时，j = 1；i = 1时，j = 0，他们都对应结果的“下标”k=1，也就是“十位”
sum = carry#先把进位计算进来（这个顺序其实无所谓，但是如果不是先进位，就要给sum清零了）
for i in range(k + 1):#k其实就是结果位。i和j是根据k做的互补，严格对应一个结果底位。
j = k - i
if i <= m and j <= n:
index_i = m - i# 转换，字符串形式，i=0其实代表的是最大的那个数，不是最小的，index_i才是最小的数。
index_j = n - j
sum += int(num1[index_i]) * int(num2[index_j])#
# 拼接结果字符串，遍历完当前k对应的所有i和j的组合，当前位的结果已经出炉，可以拼接了。比如15*15的最后一位5*5，是由当前位停留结果5和进位2组成的，当前结果就留在这。
res = str(sum % 10) + res#从低位向高位迭代，使用新的sum模，后加res的拼接方式。
carry = sum // 10#进位，5*5=25，进位2
if carry:#最后一位了，k迭代的是乘法计算，当然可能发生进位，比如33*44中，k是0到2，最高位3*4肯定要进位的
res = str(carry) + res
return res