第5章 二分搜索樹
5-1 爲什麼要研究樹結構
5-2 二分搜索樹基礎
- 二叉樹具有唯一根節點
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- 二叉樹種每個節點最多有兩個孩子
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- 二叉樹每個節點最多有一個父親
- 二叉樹具有天然遞歸結構
- 每個節點的左子樹也是一棵二叉樹
- 每個節點的右子樹也是一棵二叉樹
- 二叉樹不一定是“滿”的
- 一個節點也可以看作是二叉樹
- 空也是二叉樹
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public class BST<E extends Comparable<E>> {
private class Node {
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root;
private int size;
public BST(){
root = null;
size = 0;
}
public int size(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
}
5-3 向二分搜索樹種添加元素
- 我們的二分搜索樹不包含重複元素
如果向包含重複元素的話，只需要定義：
左子樹小於等於節點；或者右子樹大於等於節點 - 之前講的數組和鏈表，可以有重複元素
- 二分搜索樹添加元素的非遞歸寫法和鏈表很像
- 在二分搜索樹方面，遞歸比非遞歸實現簡單
// 向二分搜索樹中添加新的元素e
public void add(E e){
if(root == null){
root = new Node(e);
size ++;
}
else
add(root, e);
}
// 向以node爲根的二分搜索樹中插入元素e，遞歸算法
private void add(Node node, E e){
if(e.equals(node.e))
return;
else if(e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null){
node.left = new Node(e);
size ++;
return;
}
else if(e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null){
node.right = new Node(e);
size ++;
return;
}
if(e.compareTo(node.e) < 0)
add(node.left, e);
else //e.compareTo(node.e) > 0
add(node.right, e);
}
5-4 改進添加操作：深入理解遞歸終止條件
// 向二分搜索樹中添加新的元素e
public void add(E e){
root = add(root, e);
}
// 向以node爲根的二分搜索樹中插入元素e，遞歸算法
// 返回插入新節點後二分搜索樹的根
private Node add(Node node, E e){
if(node == null){
size ++;
return new Node(e);
}
if(e.compareTo(node.e) < 0)
node.left = add(node.left, e);
else if(e.compareTo(node.e) > 0)
node.right = add(node.right, e);
return node;
}
5-5 二分搜索樹的查詢操作
// 看二分搜索樹中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
return contains(root, e);
}
// 看以node爲根的二分搜索樹中是否包含元素e, 遞歸算法
private boolean contains(Node node, E e){
if(node == null)
return false;
if(e.compareTo(node.e) == 0)
return true;
else if(e.compareTo(node.e) < 0)
return contains(node.left, e);
else // e.compareTo(node.e) > 0
return contains(node.right, e);
}
6-6 二分搜索樹的前序遍歷
// 二分搜索樹的前序遍歷
public void preOrder(){
preOrder(root);
}
// 前序遍歷以node爲根的二分搜索樹, 遞歸算法
private void preOrder(Node node){
if(node == null)
return;
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
5-7 二分搜索樹的中序遍歷和後序遍歷
二分搜索樹的中序遍歷結果是順序的
// 二分搜索樹的中序遍歷
public void inOrder(){
inOrder(root);
}
// 中序遍歷以node爲根的二分搜索樹, 遞歸算法
private void inOrder(Node node){
if(node == null)
return;
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
後序遍歷可以用來爲二分搜索樹釋放內存
// 二分搜索樹的後序遍歷
public void postOrder(){
postOrder(root);
}
// 後序遍歷以node爲根的二分搜索樹, 遞歸算法
private void postOrder(Node node){
if(node == null)
return;
postOrder(node.left);
postOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}
5-8 深入理解二分搜索樹的前中後序遍歷
通過觀察直接得出遍歷的結果
每個節點在遍歷時需要訪問三次
前序遍歷也稱爲深度優先遍歷
總結：前序遍歷的結果爲每個節點第一次訪問，中序遍歷爲第二次，後序遍歷爲第三次。
5-9 二分搜索樹前序遍歷的非遞歸實現
利用棧，先將右孩子入棧，再左孩子入棧，每次訪問棧頂元素。
// 二分搜索樹的非遞歸前序遍歷
public void preOrderNR(){
if(root == null)
return;
Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()){
Node cur = stack.pop();
System.out.println(cur.e);
if(cur.right != null)
stack.push(cur.right);
if(cur.left != null)
stack.push(cur.left);
}
}
- 二分搜索樹遍歷的非遞歸實現，比遞歸實現複雜很多
- 中序遍歷和後序遍歷的非遞歸實現很複雜（尤其後序遍歷）
- 中序便利和後序遍歷的非遞歸實現，實際應用不廣
5-10 二分搜索樹的層序遍歷
層序遍歷也稱爲廣度優先遍歷
使用隊列輔助遍歷，訪問節點，左孩子入隊，再右孩子入隊，訪問隊首。
// 二分搜索樹的層序遍歷
public void levelOrder(){
if(root == null)
return;
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
while(!q.isEmpty()){
Node cur = q.remove();
System.out.println(cur.e);
if(cur.left != null)
q.add(cur.left);
if(cur.right != null)
q.add(cur.right);
}
}
5-11 刪除二分搜索樹的最大元素和最小元素
- 尋找二分搜索樹的最小元素
// 尋找二分搜索樹的最小元素
public E minimum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
Node minNode = minimum(root);
return minNode.e;
}
// 返回以node爲根的二分搜索樹的最小值所在的節點
private Node minimum(Node node){
if( node.left == null )
return node;
return minimum(node.left);
}
- 尋找二分搜索樹的最大元素
// 尋找二分搜索樹的最大元素
public E maximum(){
if(size == 0)
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
return maximum(root).e;
}
// 返回以node爲根的二分搜索樹的最大值所在的節點
private Node maximum(Node node){
if( node.right == null )
return node;
return maximum(node.right);
}
- 從二分搜索樹中刪除最小值所在節點, 返回最小值
// 從二分搜索樹中刪除最小值所在節點, 返回最小值
public E removeMin(){
E ret = minimum();
root = removeMin(root);
return ret;
}
// 刪除掉以node爲根的二分搜索樹中的最小節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 從二分搜索樹中刪除最大值所在節點
public E removeMax(){
E ret = maximum();
root = removeMax(root);
return ret;
}
// 刪除掉以node爲根的二分搜索樹中的最大節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMax(Node node){
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
- 從二分搜索樹中刪除最大值所在節點
// 從二分搜索樹中刪除最大值所在節點
public E removeMax(){
E ret = maximum();
root = removeMax(root);
return ret;
}
// 刪除掉以node爲根的二分搜索樹中的最大節點
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node removeMax(Node node){
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
node.right = removeMax(node.right);
return node;
}
5-12 刪除二分搜索樹的任意元素
刪除只有左孩子的節點與刪除最大元素類似
刪除只有右孩子的節點與刪除最小元素類似
難點是刪除一個左右孩子都有的節點，主要方法由Hibbard在1962年提出。
方法1
// 從二分搜索樹中刪除元素爲e的節點
public void remove(E e){
root = remove(root, e);
}
// 刪除掉以node爲根的二分搜索樹中值爲e的節點, 遞歸算法
// 返回刪除節點後新的二分搜索樹的根
private Node remove(Node node, E e){
if( node == null )
return null;
if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
node.left = remove(node.left , e);
return node;
}
else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
node.right = remove(node.right, e);
return node;
}
else{ // e.compareTo(node.e) == 0
// 待刪除節點左子樹爲空的情況
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待刪除節點右子樹爲空的情況
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待刪除節點左右子樹均不爲空的情況
// 找到比待刪除節點大的最小節點, 即待刪除節點右子樹的最小節點
// 用這個節點頂替待刪除節點的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
方法2
