Faster R-CNN 主要分爲兩個部分：
- RPN（Region Proposal Network）生成高質量的 region proposal；
- Fast R-CNN 利用 region proposal 做出檢測。
在論文中作者將 RPN 比作神經網絡的注意力機制（"attention" mechanisms），告訴網絡看哪裏。爲了更好的理解，下面簡要的敘述論文的關鍵內容。
RPN
- Input：任意尺寸的圖像
- Output：一組帶有目標得分的目標矩形 proposals
爲了生成 region proposals，在基網絡的最後一個卷積層 x 上滑動一個小網絡。該小網絡由一個 \(3\times 3\) 卷積 conv1 和一對兄弟卷積（並行的）\(1\times 1\) 卷積 reg 和 cls 組成。其中，conv1 的參數 padding=1，stride=1 以保證其不會改變輸出的特徵圖的尺寸。reg 作爲 box-regression 用來編碼 box 的座標，cls 作爲 box-classifaction 用來編碼每個 proposal 是目標的概率。詳細內容見我的博客：我的目標檢測筆記。論文中把不同 scale 和 aspect ratio 的 \(k\) 個 reference boxes（參數化的 proposal） 稱作 anchors（錨點）。錨點是滑塊的中心。
爲了更好的理解 anchors，下面以 Python 來展示其內涵。
錨點
首先利用COCO 數據集的使用中介紹的 API 來獲取一張 COCO 數據集的圖片及其標註。
先載入一些必備的包：
import cv2
from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
# 載入 coco 相關 api
import sys
sys.path.append(r'D:\API\cocoapi\PythonAPI')
from pycocotools.dataset import Loader
%matplotlib inline利用 Loader 載入 val2017 數據集，並選擇包含 'cat', 'dog', 'person' 的圖片：
dataType = 'val2017'
root = 'E:/Data/coco'
catNms = ['cat', 'dog', 'person']
annType = 'annotations_trainval2017'
loader = Loader(dataType, catNms, root, annType)輸出結果：
Loading json in memory ...
used time: 0.762376 s
Loading json in memory ...
creating index...
index created!
used time: 0.401951 s可以看出，Loader 載入數據的速度很快。爲了更加詳細的查看 loader，下面打印出現一些相關信息：
print(f'總共包含圖片 {len(loader)} 張')
for i, ann in enumerate(loader.images):
w, h = ann['height'], ann['width']
print(f'第 {i+1} 張圖片的高和寬分別爲: {w, h}')顯示：
總共包含圖片 2 張
第 1 張圖片的高和寬分別爲: (612, 612)
第 2 張圖片的高和寬分別爲: (500, 333)下面以第 1 張圖片爲例來探討 anchors。先可視化：
img, labels = loader[0]
plt.imshow(img);輸出：
爲了讓特徵圖的尺寸大一點，可以將其 resize 爲 (800, 800, 3)：
img = cv2.resize(img, (800, 800))
print(img.shape)輸出：
(800, 800, 3)下面藉助 MXNet 來完成接下來的代碼編程，爲了適配 MXNet 需要將圖片由 (h, w, 3) 轉換爲 (3, w, h) 形式。
img = img.transpose(2, 1, 0)
print(img.shape)輸出：
(3, 800, 800)由於卷積神經網絡的輸入是四維數據，故而，還需要：
img = np.expand_dims(img, 0)
print(img.shape)輸出
(1, 3, 800, 800)爲了和論文一致，我們也採用 VGG16 網絡（載入 gluoncv中的權重）：
from gluoncv.model_zoo import vgg16
net = vgg16(pretrained=True) # 載入權重僅僅考慮直至最後一層卷積層(去除池化層)的網絡，下面查看網絡的各個卷積層的輸出情況：
from mxnet import nd
imgs = nd.array(img) # 轉換爲 mxnet 的數據類型
x = imgs
for layer in net.features[:29]:
x = layer(x)
if "conv" in layer.name:
print(layer.name, x.shape) # 輸出該卷積層的 shape結果爲：
vgg0_conv0 (1, 64, 800, 800)
vgg0_conv1 (1, 64, 800, 800)
vgg0_conv2 (1, 128, 400, 400)
vgg0_conv3 (1, 128, 400, 400)
vgg0_conv4 (1, 256, 200, 200)
vgg0_conv5 (1, 256, 200, 200)
vgg0_conv6 (1, 256, 200, 200)
vgg0_conv7 (1, 512, 100, 100)
vgg0_conv8 (1, 512, 100, 100)
vgg0_conv9 (1, 512, 100, 100)
vgg0_conv10 (1, 512, 50, 50)
vgg0_conv11 (1, 512, 50, 50)
vgg0_conv12 (1, 512, 50, 50)由此，可以看出尺寸爲 (800, 800) 的原圖變爲了 (50, 50) 的特徵圖（比原來縮小了 16 倍）。
感受野
上面的 16 不僅僅是針對尺寸爲 (800, 800)，它適用於任意尺寸的圖片，因爲 16 是特徵圖的一個像素點的感受野（receptive field ）。
感受野的大小是如何計算的？我們回憶卷積運算的過程，便可發現感受野的計算恰恰是卷積計算的逆過程（參考感受野計算1）。
記 \(F_k, S_k, P_k\) 分別表示第 \(k\) 層的卷積核的高(或者寬)、移動步長（stride）、Padding 個數；記 \(i_k\) 表示第 \(k\) 層的輸出特徵圖的高（或者寬）。這樣，很容易得出如下遞推公式：
\[ i_{k+1} = \lfloor \frac{i_{k}-F_{k}+2P_{k}}{s_{k}}\rfloor + 1 \]
其中 \(k \in \{1, 2, \cdots\}\)，且 \(i_0\) 表示原圖的高或者寬。令 \(t_k = \frac{F_k - 1}{2} - P_k\)，上式可以轉換爲
\[ (i_{k-1} - 1) = (i_{k} - 1) S_k + 2t_k \]
反推感受野, 令 \(i_1 = F_1\), 且\(t_k = \frac{F_k -1}{2} - P_k\), 且 \(1\leq j \leq L\), 則有
\[ i_0 = (i_L - 1)\alpha_L + \beta_L \]
其中 \(\alpha_L = \prod_{p=1}^{L}S_p\)，且有：
\[ \beta_L = 1 + 2\sum_{p=1}^L (\prod_{q=1}^{p-1}S_q) t_p \]
由於 VGG16 的卷積核的配置均是 kernel_size=(3, 3), padding=(1, 1)，同時只有在經過池化層才使得 \(S_j = 2\)，故而 \(\beta_j = 0\)，且有 \(\alpha_L = 2^4 = 16\)。
錨點的計算
在編程實現的時候，將感受野的大小使用 base_size 來表示。下面我們討論如何生成錨框？爲了計算的方便，先定義一個 Box：
import numpy as np
class Box:
'''
corner: (xmin,ymin,xmax,ymax)
'''
def __init__(self, corner):
self._corner = corner
@property
def corner(self):
return self._corner
@corner.setter
def corner(self, new_corner):
self._corner = new_corner
@property
def w(self):
'''
計算 bbox 的 寬
'''
return self.corner[2] - self.corner[0] + 1
@property
def h(self):
'''
計算 bbox 的 高
'''
return self.corner[3] - self.corner[1] + 1
@property
def area(self):
'''
計算 bbox 的 面積
'''
return self.w * self.h
@property
def whctrs(self):
'''
計算 bbox 的 中心座標
'''
xctr = self.corner[0] + (self.w - 1) * .5
yctr = self.corner[1] + (self.h - 1) * .5
return xctr, yctr
def __and__(self, other):
'''
運算符：&，實現兩個 box 的交集運算
'''
U = np.array([self.corner, other.corner])
xmin, ymin, xmax, ymax = np.split(U, 4, axis=1)
w = xmax.min() - xmin.max()
h = ymax.min() - ymin.max()
return w * h
def __or__(self, other):
'''
運算符：|，實現兩個 box 的並集運算
'''
I = self & other
return self.area + other.area - I
def IoU(self, other):
'''
計算 IoU
'''
I = self & other
U = self | other
return I / U類 Box 實現了 bbox 的交集、並集運算以及 IoU 的計算。下面舉一個例子來說明：
bbox = [0, 0, 15, 15] # 邊界框
bbox1 = [5, 5, 12, 12] # 邊界框
A = Box(bbox) # 一個 bbox 實例
B = Box(bbox1) # 一個 bbox 實例下面便可以輸出 A 與 B 的高寬、中心、面積、交集、並集、Iou：
print('A 與 B 的交集', str(A & B))
print('A 與 B 的並集', str(A | B))
print('A 與 B 的 IoU', str(A.IoU(B)))
print(u'A 的中心、高、寬以及面積', str(A.whctrs), A.h, A.w, A.area)輸出結果：
A 與 B 的交集 49
A 與 B 的並集 271
A 與 B 的 IoU 0.18081180811808117
A 的中心、高、寬以及面積 (7.5, 7.5) 16 16 256下面重新考慮 loader。首先定義一個轉換函數：
def getX(img):
# 將 img (h, w, 3) 轉換爲 (1, 3, w, h)
img = img.transpose((2, 1, 0))
return np.expand_dims(img, 0)函數 getX 將圖片由 (h, w, 3) 轉換爲 (1, 3, w, h)：
img, label = loader[0]
img = cv2.resize(img, (800, 800)) # resize 爲 800 x 800
X = getX(img) # 轉換爲 (1, 3, w, h)
img.shape, X.shape輸出結果：
((800, 800, 3), (1, 3, 800, 800))與此同時，獲取特徵圖的數據：
features = net.features[:29]
F = features(imgs)
F.shape輸出：
(1, 512, 50, 50)接着需要考慮如何將特徵圖 F 映射回原圖？
全卷積（FCN）：將特徵圖映射回原圖
faster R-CNN 中的 FCN 僅僅是有着 FCN 的特性，並不是真正意義上的卷積。faster R-CNN 僅僅是借用了 FCN 的思想來實現將特徵圖映射回原圖的目的，同時將輸出許多錨框。
特徵圖上的 1 個像素點的感受野爲 \(16\times 16\)，換言之，特徵圖上的錨點映射回原圖的感受區域爲 \(16 \times 16\)，論文稱其爲 reference box。下面相對於 reference box 依據不同的尺度與高寬比例來生成不同的錨框。
base_size = 2**4 # 特徵圖的每個像素的感受野大小
scales = [8, 16, 32] # 錨框相對於 reference box 的尺度
ratios = [0.5, 1, 2] # reference box 與錨框的高寬的比率（aspect ratios）其實 reference box 也對應於論文描述的 window（滑動窗口），這個之後再解釋。我們先看看 scales 與 ratios 的具體含義。
爲了更加一般化，假設 reference box 圖片高寬分別爲 \(h, w\)，而錨框的高寬分別爲 \(h_1, w_1\)，形式化 scales 與 ratios 爲公式 1：
\[ \begin{cases} \frac{w_1 h_1}{wh} = s^2\\ \frac{h_1}{w_1} = \frac{h}{w} r \Rightarrow \frac{h_1}{h} = \frac{w_1}{w} r \end{cases} \]
可以將上式轉換爲公式 2：
\[ \begin{cases} \frac{w_1}{w} = \frac{s}{\sqrt{r}}\\ \frac{h_1}{h} = \frac{w_1}{w} r = s \sqrt{r} \end{cases} \]
同樣可以轉換爲公式3：
\[ \begin{cases} w_s = \frac{w_1}{s} = \frac{w}{\sqrt{r}}\\ h_s = \frac{h_1}{s} = h \sqrt{r} \end{cases} \]
基於公式 2 與公式 3 均可以很容易計算出 \(w_1,h_1\). 一般地，\(w=h\)，公式 3 亦可以轉換爲公式 4：
\[ \begin{cases} w_s = \sqrt{\frac{wh}{r}}\\ h_s = w_s r \end{cases} \]
gluoncv 結合公式 4 來編程，本文依據 3 進行編程。無論原圖的尺寸如何，特徵圖的左上角第一個錨點映射回原圖後的 reference box 的 bbox = (xmain, ymin, xmax, ymax) 均爲 (0, 0, bas_size-1, base_size-1)，爲了方便稱呼，我們稱其爲 base_reference box。基於 base_reference box 依據不同的 s 與 r 的組合生成不同尺度和高寬比的錨框，且稱其爲 base_anchors。編程實現：
class MultiBox(Box):
def __init__(self, base_size, ratios, scales):
if not base_size:
raise ValueError("Invalid base_size: {}.".format(base_size))
if not isinstance(ratios, (tuple, list)):
ratios = [ratios]
if not isinstance(scales, (tuple, list)):
scales = [scales]
super().__init__([0]*2+[base_size-1]*2) # 特徵圖的每個像素的感受野大小爲 base_size
# reference box 與錨框的高寬的比率（aspect ratios）
self._ratios = np.array(ratios)[:, None]
self._scales = np.array(scales) # 錨框相對於 reference box 的尺度
@property
def base_anchors(self):
ws = np.round(self.w / np.sqrt(self._ratios))
w = ws * self._scales
h = w * self._ratios
wh = np.stack([w.flatten(), h.flatten()], axis=1)
wh = (wh - 1) * .5
return np.concatenate([self.whctrs - wh, self.whctrs + wh], axis=1)
def _generate_anchors(self, stride, alloc_size):
# propagete to all locations by shifting offsets
height, width = alloc_size # 特徵圖的尺寸
offset_x = np.arange(0, width * stride, stride)
offset_y = np.arange(0, height * stride, stride)
offset_x, offset_y = np.meshgrid(offset_x, offset_y)
offsets = np.stack((offset_x.ravel(), offset_y.ravel(),
offset_x.ravel(), offset_y.ravel()), axis=1)
# broadcast_add (1, N, 4) + (M, 1, 4)
anchors = (self.base_anchors.reshape(
(1, -1, 4)) + offsets.reshape((-1, 1, 4)))
anchors = anchors.reshape((1, 1, height, width, -1)).astype(np.float32)
return anchors下面看看具體效果：
base_size = 2**4 # 特徵圖的每個像素的感受野大小
scales = [8, 16, 32] # 錨框相對於 reference box 的尺度
ratios = [0.5, 1, 2] # reference box 與錨框的高寬的比率（aspect ratios）
A = MultiBox(base_size,ratios, scales)
A.base_anchors輸出結果：
array([[ -84., -38., 99., 53.],
[-176., -84., 191., 99.],
[-360., -176., 375., 191.],
[ -56., -56., 71., 71.],
[-120., -120., 135., 135.],
[-248., -248., 263., 263.],
[ -36., -80., 51., 95.],
[ -80., -168., 95., 183.],
[-168., -344., 183., 359.]])接着考慮將 base_anchors 在整個原圖上進行滑動。比如，特徵圖的尺寸爲 (5， 5) 而感受野的大小爲 50，則 base_reference box 在原圖滑動的情況（移動步長爲 50）如下圖：
x, y = np.mgrid[0:300:50, 0:300:50]
plt.pcolor(x, y, x+y); # x和y是網格,z是(x,y)座標處的顏色值colorbar()輸出結果：
原圖被劃分爲了 25 個 block，每個 block 均代表一個 reference box。若 base_anchors 有 9 個，則只需要按照 stride = 50 進行滑動便可以獲得這 25 個 block 的所有錨框（總計 5x5x9=225 個）。針對前面的特徵圖 F 有：
stride = 16 # 滑動的步長
alloc_size = F.shape[2:] # 特徵圖的尺寸
A._generate_anchors(stride, alloc_size).shape輸出結果：
(1, 1, 50, 50, 36)即總共 \(50\times 50 \times 9=22500\) 個錨點。
更多後續內容見我的 GitHub：CV
Lenc K, Vedaldi A. R-CNN minus R.[J]. british machine vision conference, 2015.↩