三維剛體運動

點和向量，座標系

首先說說向量是什麼，它是線性空間的一個元素，可以想象從原點指向某處的一個箭頭，不要把向量和座標混淆。談論向量$\vec a$在一個線性基（$\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3$）的座標
$\vec a = \left[ \begin{matrix} \vec e_1 & \vec e_2 &\vec e_3 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \tag{1}\end{matrix} \right]$
向量的點乘（內積）可以描述成向量間的投影關係，對於$\vec a,\vec b \in \vec R^3$,
$\vec a \cdot \vec b = \sum_{i=1}^3{a_i b_i} = |\vec a||\vec b|cos< \vec a , \vec b> \tag{2}$
向量的叉乘（外積）
$\vec a \times \vec b = \left[ \begin{matrix} \vec i & \vec j &\vec k \\ a_1 & a_2 &a_3 \\ b_1 & b_2 &b_3 \\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 0 & -a_3 &a_2 \\ a_3 & 0 &-a_1 \\ -a_2 & a_1 &0 \\ \end{matrix} \right] \vec b =\vec a^v \cdot \vec b\tag{3}$
|$\vec a× \vec b$|在數值上等於由$\vec a$和$\vec b$構成的平行四邊形的面積 $|\vec a||\vec b|sin< \vec a , \vec b>$,方向垂直於這兩個向量。
(3)式中最後的等號是近似的，我們把$\vec a^v$當成$\vec a$生成的一個反對稱矩陣，這樣就把向量的叉乘變成矩陣與向量的乘積，把運算變成了線性運算

座標系的歐式變化

在歐式變化中，除了旋轉還有平移。考慮到世界座標系中的向量$\vec a$，經過一次選擇（R）和一次平移$\vec t$,得到了$\vec a'$,有：
$\vec a' = R \vec a + \vec t$
我們定義兩個座標系：世界座標系和相機座標系，在該定義下，設某個點再世界座標系中的座標爲$\vec p_w$，在相機座標系下爲$\vec p_c$,那麼：
$\vec p_c= T_{cw} \vec p_w$
這裏$T_{cw}$表示世界座標系到相機座標系的變換。或者反過來的$T_{wc}$:
$\vec p_w= T_{wc} \vec p_c = T_{wc}^{-1} \vec p_c$
如果把$\vec p_c$取成零向量，也就是相機座標系的原點，那麼 $\vec p_w$就是相機原點在世界座標系下的座標：
$\vec p_w= T_{wc} \vec 0 = \vec t_{wc}$
我們發現這就是$T_{wc}$的平移部分。
note：$T_{wc}$表示相機座標系到世界座標系的變換。旋轉部分遵循相機到世界的旋轉，平移部分則是相機在世界座標系下的座標

四元數

假設某個旋轉是繞單位向量$\vec n=[n_x,n_y,n_z]^T$進行角度$\theta$的旋轉，那麼這個旋轉的四元數形式就是
$\vec q = [cos\frac{\theta}{2},n_xsin\frac{\theta}{2},n_ysin\frac{\theta}{2},n_zsin\frac{\theta}{2}]^T$