点和向量,座标系
首先说说向量是什么,它是线性空间的一个元素,可以想象从原点指向某处的一个箭头,不要把向量和座标混淆。谈论向量a在一个线性基(e1,e2,e3)的座标
a=[e1e2e3]⎣⎡a1a2a3⎦⎤(1)
向量的点乘(内积)可以描述成向量间的投影关系,对于a,b∈R3,
a⋅b=i=1∑3aibi=∣a∣∣b∣cos<a,b>(2)
向量的叉乘(外积)
a×b=⎣⎡ia1b1ja2b2ka3b3⎦⎤=⎣⎡a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎦⎤=⎣⎡0a3−a2−a30a1a2−a10⎦⎤b=av⋅b(3)
|a×b|在数值上等于由a和b构成的平行四边形的面积 ∣a∣∣b∣sin<a,b>,方向垂直于这两个向量。
(3)式中最后的等号是近似的,我们把av当成a生成的一个反对称矩阵,这样就把向量的叉乘变成矩阵与向量的乘积,把运算变成了线性运算
座标系的欧式变化
在欧式变化中,除了旋转还有平移。考虑到世界座标系中的向量a,经过一次选择(R)和一次平移t,得到了a′,有:
a′=Ra+t
我们定义两个座标系:世界座标系和相机座标系,在该定义下,设某个点再世界座标系中的座标为pw,在相机座标系下为pc,那么:
pc=Tcwpw
这里Tcw表示世界座标系到相机座标系的变换。或者反过来的Twc:
pw=Twcpc=Twc−1pc
如果把pc取成零向量,也就是相机座标系的原点,那么 pw就是相机原点在世界座标系下的座标:
pw=Twc0=twc
我们发现这就是Twc的平移部分。
note:Twc表示相机座标系到世界座标系的变换。旋转部分遵循相机到世界的旋转,平移部分则是相机在世界座标系下的座标
四元数
假设某个旋转是绕单位向量n=[nx,ny,nz]T进行角度θ的旋转,那么这个旋转的四元数形式就是
q=[cos2θ,nxsin2θ,nysin2θ,nzsin2θ]T