字符串相似度比较算法：Jaro–Winkler similarity的原理及实现

前言

在前面的文章中，笔者有对编辑距离以及Levenshtein距离进行详细的说明，其实levenshtein距离是编辑距离的其中一种定义，本文所说的Jaro距离是编辑距离的另外一种定义，它也是对两个字符串的相似度进行衡量，以得出两字符串的相似程度。下面我们一起来学习这个算法的原理以及实现吧。

标题算法定义

下面先说说Jaro distance（又称Jaro similarity）,这是由Matthew A. Jaro在1989年提出的算法，而Jaro-Winkler distance是由William E. Winkler在Jaro distance的基础上进一步改进的算法。

1、Jaro distance/similarity
对于两个字符串s1和s2，它们的Jaro 相似度由下面公式给出：

其中：
①|s1|和|s2|表示字符串s1和s2的长度。
②m表示两字符串的匹配字符数。
③t表示换位数目transpositions的一半。

这里的m和t是满足一定条件下得出来的，在理解m和t的含义之前，我们先来认识匹配窗口(记为matching window，mw)的概念。Jaro算法的字符之间的比较是限定在一个范围内的，如果在这个范围内两个字符相等，那么表示匹配成功，如果超出了这个范围，表示匹配失败。而这个范围就是匹配窗口，在Jaro算法中，它被定义为不超过下面表达式的值：

比如说字符串A(“bacde”)和B(“abed”)，它的匹配窗口大小为1，在匹配的过程中，字符’a’、‘b’、‘d’都是匹配的，indexInA(‘d’) = 3，indexInB(‘d’) = 3，二者的距离是0，小于匹配窗口大小。但对于’e’，虽然两字符串都有’e’这个字符，但它们却是不匹配的，因为’e’的下标分别为4和2，距离为2 > mw，所以’e’是不匹配的。在这个例子中，由于有3个字符匹配，因此m = 3。换位数目表示不同顺序的匹配字符的个数。同样看这个例子，'a’和’b’都是匹配的，但’a’和’b’在两个字符串的表示为"ba…“和"ab…”，它们的顺序不同，因此这里换位数目transpositions = 2，而t = transpositions / 2 = 1。

对于匹配窗口的含义，笔者的理解是：匹配窗口是一个阈值，在这个阈值之内两个字符相等，可以认为是匹配的；超过了这个阈值，即使存在另一个字符与该字符相等，但由于它们的距离太远了，二者的相关性太低了，不能认为它们是匹配的。从上面的公式可以看出，该算法强调的是局部相似度。

对于任意字符串A和B，能求出它们的length、m和t，这样便能代入公式求得二者的相似度(Jaro similarity)。从刚才的例子得到，|s1|=5，|s2|=4，m=3，t=1，代入公式可得：simj = (3/5 + 3/4 + (3-1)/3)/3 = 0.672

2、Jaro-Winkler distance/similarity
Jaro-Winkler similarity是在Jaro similarity的基础上，做的进一步修改，在该算法中，更加突出了前缀相同的重要性，即如果两个字符串在前几个字符都相同的情况下，它们会获得更高的相似性。该算法的公式如下：

其中：
①simj 就是刚才求得的Jaro similarity。
②l表示两个字符串的共同前缀字符的个数，最大不超过4个。
③p是缩放因子常量，它描述的是共同前缀对于相似度的贡献，p越大，表示共同前缀权重越大，最大不超过0.25。p默认取值是0.1。

图解Jaro-Winkler similarity求解过程

下面以字符串A(“abcdefgh”)和字符串B(“abehc”)为例来介绍整个算法的流程。这里以短字符串为行元素，长字符串为列元素，建立(|s1|+1)×(|s2|+1)的矩阵，这里匹配窗口的大小为3(注意包括距离为0的匹配)，然后根据公式不断运算：

从上面的图以及公式，我们可以总结出求解的过程：字符串s1作为行元素，字符串s2作为列元素，窗口大小为mw，同时建立两个布尔型数组，大小分别为s1和s2的长度，布尔型数组对应下标的值True表示已匹配，false表示不匹配。
对于行元素的每一个字符c1，根据c1在该字符串s1中的下标k，定位到s2的k位置，然后在该位置往前遍历mw个单位，往后遍历mw个单位，如果寻找到相等的字符，记在s2中的下标为p。经过这样的一次遍历，找到了k和p，我们分别标记布尔型数组s1的k和布尔型数组s2的p为已匹配(true)，下次遍历时就跳过该已匹配的字符。当对s1的所有元素都遍历完毕时，就找到了所有已匹配的字符，我们统计已匹配的字符便能得到m，然后对两个布尔型数组同时按照顺序比较，如果出现了true，但二者对应字符串相应位置的字符不相等，表示这是非顺序的匹配，这样就可以得到t。这样就能根据m和t求出Jaro similarity了。至于Jaro-Winkler similarity，需要p参数，也不难，求出俩字符串最大共同前缀的大小即可。
如果读者对上面的过程还有疑问，笔者再提一点，关键就在于判断来自俩字符串的相等字符的距离是不是超过了阈值(即匹配窗口长度)。这里的判断方法是在某个位置进行前后的搜索，包括当前位置。

代码实现

根据上面的实现思路以及图解过程，我们能很容易写出下面的代码：

public class JaroWinklerDistance {

    private float p = 0.1f;
    private final float MAX_P = 0.25f;
    private final int MAX_L = 4;

    /**
     * 用户可以修改p参数，以提高共同前缀的权重
     * @param p
     */
    private void setP(float p){
        this.p = p;
    }

    public float getJaroDistance(CharSequence s1,CharSequence s2){
        if (s1 == null || s2 == null) return 0f;
        int result[] = matches(s1,s2);
        float m = result[0];
        if (m == 0f)
            return 0f;

        float j = ((m / s1.length() + m / s2.length() + (m - result[1]) / m)) / 3;
        return j;
    }

    public float getJaroWinklerDistance(CharSequence s1,CharSequence s2){
        if (s1 == null || s2 == null) return 0f;
        int result[] = matches(s1,s2);

        float m = result[0];
        if (m == 0f)
            return 0f;

        float j = ((m / s1.length() + m / s2.length() + (m - result[1]) / m)) / 3;
        float jw = j + Math.min(p,MAX_P) * result[2] * (1 - j);
        return jw;


    }

    private int[] matches(CharSequence s1,CharSequence s2){
        //用max来保存较长的字符串，min保存较短的字符串
        //这是为了以短字符串为行元素遍历，长字符串为列元素遍历。
        CharSequence max,min;
        if (s1.length() > s2.length()){
            max = s1;
            min = s2;
        }else{
            max = s2;
            min = s1;
        }

        //匹配窗口的大小，对于每一行i，列j只在(i-matchedwindow,i+matchedwindow)内移动，
        //在该范围内遇到相等的字符，表示匹配成功
        int matchedWindow = Math.max(max.length() / 2 - 1,0);
        //记录字符串的匹配状态，true表示已经匹配成功
        boolean[] minMatchFlag = new boolean[min.length()];
        boolean[] maxMatchFlag = new boolean[max.length()];
        int matches = 0;

        for (int i = 0;i < min.length();i++){
            char minChar = min.charAt(i);
            //列元素的搜索：j的变化包括i往前搜索窗口长度和i往后搜索窗口长度。
            for (int j = Math.max(i - matchedWindow,0);
                 j < Math.min(i + matchedWindow + 1,max.length());j++){
                if (!maxMatchFlag[j] && minChar == max.charAt(j)){
                    maxMatchFlag[j] = true;
                    minMatchFlag[i] = true;
                    matches++;
                    break;
                }
            }
        }
        //求转换次数和相同前缀长度
        int transpositions = 0;
        int prefix = 0;

        int j = 0;
        for (int i = 0;i < min.length();i++){
            if (minMatchFlag[i]){
                while (!maxMatchFlag[j]) j++;

                if (min.charAt(i) != max.charAt(j)){
                    transpositions++;
                }
                j++;
            }
        }

        for(int i = 0;i < min.length();i++){
            if (s1.charAt(i) == s2.charAt(i)){
                prefix++;
            }else {
                break;
            }
        }

        return new int[]{matches,transpositions / 2,prefix > MAX_L ? MAX_L : prefix};
    }

    public static void main(String args[]){
        String s1 = "abcdefgh";
        String s2 = "abehc";

        JaroWinklerDistance distance = new JaroWinklerDistance();
        System.out.println("字符串A(\"" + s1 +"\")"+"和字符串B(\"" + s2 + "\")：");
        System.out.println("Jaro similarity:" + distance.getJaroDistance(s1,s2));
        System.out.println("Jaro-Winkler similarity:" + distance.getJaroWinklerDistance(s1,s2));
    }
}

我们运行上面的代码，可以得到下面的输出：

这与我们图解过程得到的结果手工计算出来的是一致的。

进一步探究

经过上面的学习，我们已经掌握了这个算法的原理以及实现方法，下面我们接着来探究它的特性以及适用场景。
我们来看下面的一组实验结果：

关键字是fox，另外的字符串是包含有fox几个字符的字符串，可以看出最高相似度的是"fox"在开始几位的情况下，而"afoxbcd"反而比"foaxbcd"更低，虽然前者含有完整的"fox"而后者是分开的。同时"abcdfox"的相似度为0，即使它末尾含有"fox"。上面这几个例子说明了jaro-winkler相似度对于前缀匹配更友好，并且越往前面匹配成功带来的权重更大。由此可以看出，该算法可以用在单词的匹配上，比如对于一个单词"appropriate"，找出数据库中与它最匹配的一个词语，可以是"appropriation"，也可以是"appropriately"等。但是，该算法不适用在句子匹配上，因为如果关键字在句子的后面部分，相似度会急剧下降，甚至为0。

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