PHP實現八皇后算法-回溯算法

回溯算法實際上一個類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就“回溯”返回，嘗試別的路徑。回溯法是一種選優搜索法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術爲回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱爲“回溯點”。

回溯算法的基本思想是：從一條路往前走，能進則進，不能進則退回來，換一條路再試。

八皇后問題，是一個古老而著名的問題，是回溯算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，問有多少種擺法。

這邊先以4皇后來解釋解決步驟：

詳細說明

1. 在第一行有四種可能，選擇第一個位置放上皇后
   

2. 第二行原本可以有四種可能擺放，但是第一第二個已經和第一行的皇后衝突了，因此只剩下第三第四個格子了，先選擇第三個格子
   

3. 接下來是第三行，根據規則可以看出，第三行已經沒有位置放了，因爲都跟第一第二行的皇后衝突，此時返回到第二行第四個
   

4. 繼續來到第三行，發現只有第二個滿足條件
   

5. 然後發現第四行已經不能放了，只能繼續返回，返回到第一行，開始下一種可能
   

6. 按照 1-5 的步驟，可以找到下面的其中一種解法
   

總而言之，回溯法就是開始一路到底，碰到南牆了就返回走另外一條路，有點像窮舉法那樣走遍所有的路。

PHP代碼實現：

<?php

class Backtracking {

	protected $chessboard;   // 棋盤 二維數組 表示座標軸
	protected $N;            // N表示幾皇后
	protected $has_set_x;    // 已經設置的x座標數組 已經設置的x座標就不能重複了，用於檢查座標是否可用
	protected $has_set_y;    // 已經設置的y座標數組 已經設置的y座標就不能重複了，用於檢查座標是否可用
	protected $has_set_site; // 已經設置的點

	function __construct($N) {
		// 初始化數據
		$this->N = $N;
		$this->chessboard = array();
		for ($i=0; $i < $N; $i++) { 
			for ($j=0; $j < $N; $j++) { 
				$this->chessboard[$i][$j] = 0;
			}
		}
		$this->has_set_x = array();
		$this->has_set_y = array();
		$this->has_set_site = array();
	}

	// 獲取排列
	public function getPermutation($is_get_on = true) { // is_get_on 是否獲取一種排列 true:是 false:獲取所有排列
		$current_n = 0; // 當前設置第幾個皇后
		$start_x = 0;   // 當前的x座標 從x開始放置嘗試
		$permutation_array = array(); // 全部皇后放置成功的排列數組
		while ($current_n < $this->N && $current_n >= 0) {
			$site_result = $this->setQueenSite($current_n, $start_x); // 設置皇后位置
			if($site_result == true && $current_n + 1 >= $this->N) { // 如果最後的皇后位置放置成功則記錄信息
				$permutation_array[] = array_merge($this->has_set_site, array(array('x' => $site_result['x'], 'y' => $site_result['y'])));
				if($is_get_on == false) { // 如果是獲取所有排列，則設置當前放置失敗，讓程序回溯繼續找到其他排列
					$site_result = false;
				}
			}
			if($site_result == true) {
				$this->chessboard[$site_result['x']][$site_result['y']] = 1;
				$this->has_set_x[] = $site_result['x'];
				$this->has_set_y[] = $site_result['y'];
				$this->has_set_site[] = array('x' => $site_result['x'], 'y' => $site_result['y']);
				$current_n++; // 皇后位置放置成功，繼續設置下一個皇后，重置下一個皇后的x座標從0開始
				$start_x = 0;
			}else {
				// 當前皇后找不到放置的位置，則需要回溯到上一步
				$previous_site = array_pop($this->has_set_site); // 找到上一步皇后的位置
				if(!empty($previous_site)) {
					$start_x = $previous_site['x'] + 1; // 讓上一步的皇后的x座標+1繼續嘗試放置
					$this->deleteArrayValue($this->has_set_x, $previous_site['x']);
					$this->deleteArrayValue($this->has_set_y, $previous_site['y']);
					$this->chessboard[$previous_site['x']][$previous_site['y']] = 0;
				}
				$current_n--; // 回溯到上一步，即讓一個皇后x座標+1繼續嘗試放置
			}
		}
		return $permutation_array;
	}

	// 設置皇后位置
	public function setQueenSite($n, $start_x) {
		$start_y = $n;
		if($start_x >= $this->N) return false;
		$check_result = $this->checkQueenSite($start_x, $start_y); // 檢查當前是否可放置
		if($check_result == true) {
			return array('x' => $start_x, 'y' => $start_y);
		}else { // 不可放置，則x座標+1，繼續嘗試
			$start_x++;
			return $this->setQueenSite($n, $start_x);
		}
	}

	// 檢查皇后位置是否正確
	public function checkQueenSite($x, $y) {
		// 判斷當前座標的橫、縱、斜線是否存在已經放置的皇后
		if(in_array($x, $this->has_set_x)) return false;
		if(in_array($y, $this->has_set_y)) return false;
		$operate_array = array(
			array('operate_x' => '+', 'operate_y' => '+'),
			array('operate_x' => '-', 'operate_y' => '-'),
			array('operate_x' => '+', 'operate_y' => '-'),
			array('operate_x' => '-', 'operate_y' => '+')
		);
		foreach ($operate_array as $key => $value) {
			$diagonal_x = $x;
			$diagonal_y = $y;
			while (true) {
				eval("\$diagonal_x=$diagonal_x {$value['operate_x']} 1;");
				eval("\$diagonal_y=$diagonal_y {$value['operate_y']} 1;");
				if($diagonal_x >= $this->N || $diagonal_y >= $this->N || $diagonal_x < 0 || $diagonal_y < 0) break;
				if($this->chessboard[$diagonal_x][$diagonal_y] == 1) return false;
			}
		}
		return true;
	}

	// 刪除數組元素
	public function deleteArrayValue(&$array, $value) {
		$delete_key = array_search($value, $array);
		array_splice($array, $delete_key, 1);
	}

}

$N = 8; // 8表示獲取8皇后的排列組合
$backtracking = new Backtracking($N);
$permutations = $backtracking->getPermutation(false);
var_dump($permutations); // 輸出92種排列