（圖論）最小生成樹

問題描述

在 n 個城市之間鋪設光纜，以保證這n個城市中的任意兩個城市之間都可以通信。由於鋪設光纜的價格很高，且各個城市之間的距離不同，這就使得在各個城市之間鋪設光纜的價格不同。那麼如何選擇鋪設線路的方案，才能使費用最低呢？
該問題就涉及到有權圖的最小生成樹問題。

基本概念

連通圖：在無向圖中，若任意兩個頂點之間都有路徑相通，則稱該圖爲連通圖。
強聯通圖：在有向圖中，若任意兩個頂點之間都有路徑相通，則稱該圖爲強連通圖。
連通網：在連通圖中，若圖的邊具有一定的意義，每一條邊都對應着一個數，稱爲權;權代表着連接這兩個頂點的代價，稱這種連通圖爲連通網。
最小生成樹：在連通網的所有生成樹中，所有邊的代價和最小的生成樹，稱爲最小生成樹。

普利姆算法——Prim算法

是加權連通圖裏生成最小生成樹的一種算法。

算法流程

1. 對於一個加權聯通圖，其頂點集合爲V，邊集合爲E。從集合V中任選一個頂點作爲初始頂點，將該頂點標爲已處理。
2. 已處理的所有頂點可以看成是一個集合U，計算所有與集合U中相鄰的頂點的距離，選擇距離最短的頂點，將其標記爲已處理，並記錄最短距離的邊。
3. 不斷計算已處理的頂點集合U和未處理的頂點的距離，每次選出距離最短的頂點標爲已處理，同時記錄最短距離的邊，直至所有頂點都處理完。
4. 最終，所有記錄的最短距離的邊構成的樹，即爲最小生成樹。

圖解算法

性能分析

使用鄰接矩陣來保存圖的話，時間複雜度是$O(n^2)$

克魯斯卡算法——Kruskal算法

算法流程：

1. 把圖中的所有邊按代價從小到大排序。
2. 把圖中的n個頂點看成是獨立的n棵樹組成的森林。
3. 按照權值從大到小選擇邊，所選的邊連接的兩個頂點 $u_i$，$v_i$。$u_i$，$v_i$應該屬於兩棵不同的樹，則成爲最小生成樹的一條邊，並將這兩棵樹合併爲一棵樹。
4. 重複步驟3，直到所有的頂點都在一棵樹內或者有n-1條邊爲止。

圖解算法

性能分析

Kruskal算法需要先對所有邊按照權值進行排序，這個操作的時間複雜度爲 $O(nlogn)$，其中n爲無向連通圖邊的數目。之後就是遍歷排序後的所有邊，並判斷邊所連接的兩個頂點是否屬於同一棵樹，如果不是，就進行合併，所以總體的時間複雜度爲$O(nlogn)$。