(1) 李航《統計學習方法》基於Python實現——最小二乘法正則項

第1章 統計學習方法概論

• 高斯於1823年在誤差e1 ,… , en獨立同分布的假定下,證明了最小二乘方法的一個最優性質: 在所有無偏的線性估計類中,最小二乘方法是其中方差最小的！
• 無偏估計是用樣本統計量來估計總體參數時的一種無偏推斷。 估計量的數學期望等於被估計參數的真實值，則稱此此估計量爲被估計參數的無偏估計，即具有無偏性，是一種用於評價估計量優良性的準則。 無偏估計的意義是：在多次重複下，它們的平均數接近所估計的參數真值。

使用最小二乘法擬和曲線

對於數據$(x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)$

擬合出函數$h(x)$

有誤差，即殘差：$r_i=h(x_i)-y_i$

此時L2範數(殘差平方和)最小時，h(x) 和 y 相似度最高，更適合擬合

一般的H(x)爲n次的多項式，$H(x)=w_0+w_1x+w_2x^2+...w_nx^n$

$w(w_0,w_1,w_2,...,w_n)$爲參數

最小二乘法就是要找到一組 $w(w_0,w_1,w_2,...,w_n)$ 使得$\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2$ (殘差平方和) 最小

即，求 $min\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2$

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例如書本P11，例1.1中，我們用目標函數$y=sin2{\pi}x$, 加上一個正太分佈的噪音干擾，用多項式去擬合

代碼：

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.optimize import leastsq
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

ps: numpy.poly1d([1,2,3]) 生成 $1x^2+2x^1+3x^0$

# 目標函數
def real_func(x):
    return np.sin(2*np.pi*x)

# 多項式
def fit_func(p, x):
    f = np.poly1d(p)
    return f(x)

# 殘差
def residuals_func(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    return ret

# 十個點
x = np.linspace(0, 1, 10)
x_points = np.linspace(0, 1, 1000)
# 加上正態分佈噪音的目標函數的值
y_ = real_func(x)
y = [np.random.normal(0, 0.1)+y1 for y1 in y_]

def fitting(M=0):
    """
    n 爲 多項式的次數
    """    
    # 隨機初始化多項式參數
    p_init = np.random.rand(M+1)
    # 最小二乘法
    p_lsq = leastsq(residuals_func, p_init, args=(x, y))
    print('Fitting Parameters:', p_lsq[0])
    
    # 可視化
    plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
    plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq[0], x_points), label='fitted curve')
    plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
    plt.legend()
    return p_lsq

# M=0
p_lsq_0 = fitting(M=0)

# M=1
p_lsq_1 = fitting(M=1)

# M=9
p_lsq_9 = fitting(M=9)

當M=9時，多項式曲線通過了每個數據點，但是造成了過擬合

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1.0.2 正則化

結果顯示過擬合， 引入正則化項(regularizer)，降低過擬合。
模型選擇的典型方法是正則化，正則化是結構風險最小化策略的實現，是在經驗風險上加一個正則化向或懲罰項。正則化項一般是模型複雜度的單調遞減函數，模型月複雜，正則化值越大。
正則化一般具有如下形式：

$Q(x)=\sum_{i=1}^n(h(x_i)-y_i)^2+\lambda||w||^2$。並使得Q(x)取得最小
$Q(x)
迴歸問題中，損失函數是平方損失，正則化可以是參數向量的L2範數,也可以是L1範數。

• L1: regularization*abs§

• L2: 0.5 * regularization * np.square§

regularization = 0.0001

def residuals_func_regularization(p, x, y):
    ret = fit_func(p, x) - y
    ret = np.append(ret, np.sqrt(0.5*regularization*np.square(p))) # L2範數作爲正則化項
    return ret

# 最小二乘法,加正則化項
p_init = np.random.rand(9+1)
p_lsq_regularization = leastsq(residuals_func_regularization, p_init, args=(x, y))

plt.plot(x_points, real_func(x_points), label='real')
plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq_9[0], x_points), label='fitted curve')
plt.plot(x_points, fit_func(p_lsq_regularization[0], x_points), label='regularization')
plt.plot(x, y, 'bo', label='noise')
plt.legend()